Se otimes indica o produto vetorial do R^3, considere v1=(1,3,5),
v2=(-1,0,4) e v3=(a, b,-1), vetores tais que v1 otimes v2 e
v3 são collineares.
Quanto vale a soma a+b?
(A) -5
(B) -1
© 1
(D) 3
(E) 5

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema com vetores no espaço tridimensional. O enunciado nos dá três vetores: , e . A relação entre eles é que o produto vetorial de e ( ) é colinear com . Nosso objetivo é descobrir o valor da soma .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é produto vetorial. O produto vetorial de dois vetores u otimes v = i & j & k u1 & u2 & u3 v1 & v2 & v3 = ( u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1 ) e em é outro vetor que é perpendicular a ambos e . A fórmula para calcular é:

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial v1 otimes v2 = i & j & k 1 & 3 & 5 -1 & 0 & 4 :
3 cdot 4 - 5 cdot 0 = 12 - 0 = 12
Calculando cada componente:
  • Componente -(1 cdot 4 - 5 cdot (-1)) = -(4 + 5) = -9 :
1 cdot 0 - 3 cdot (-1) = 0 + 3 = 3
  • Componente v1 otimes v2 = (12, -9, 3) :
  • Componente :
Então,

Passo 4

Agora, sabemos que v1 otimes v2 = k cdot v3 e (12, -9, 3) = k cdot (a, b, -1) são colineares. Dois vetores são colineares quando um é múltiplo escalar do outro, ou seja, existe um número real 12 = k cdot a -9 = k cdot b 3 = k cdot (-1) tal que:
Substituindo os vetores:
Isso nos dá as seguintes equações:

Passo 5

Vamos resolver essas equações para encontrar 3 = -k Rightarrow k = -3 , 12 = (-3) cdot a Rightarrow a = 12-3 = -4 e -9 = (-3) cdot b Rightarrow b = -9-3 = 3 .
Da terceira equação:
Agora, substituímos nas primeiras duas equações:

Passo 6

Finalmente, queremos a soma a + b = -4 + 3 = -1 :

Resposta

A soma vale . Portanto, a resposta correta é a letra B) -1.

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