Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
A transformação , só é linear se .
Passo 1
Vamos entender o que a afirmação está dizendo. Ela afirma que "A transformação só é linear se ". Aqui, estamos falando sobre transformações lineares e o conceito de núcleo (ker) de uma transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para todos os vetores e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
(aditividade)
(homogeneidade)
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o núcleo de , denotado por . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em :
Passo 4
A afirmação diz que só se , então é linear. Vamos analisar isso. Se , isso significa que somente o vetor zero de é mapeado para o vetor zero de . Essa condição garante que seja injetora (não há dois vetores diferentes em que são mapeados para o mesmo vetor em ).
Passo 5
No entanto, a linearidade de não depende apenas do núcleo ser trivial. Uma transformação pode ser linear mesmo se o núcleo contiver mais vetores além de . Por exemplo, considere a transformação definida por:
Essa transformação é linear porque satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, e seu núcleo é , que contém infinitos vetores além de .
Passo 6
Portanto, a afirmação de que só se o núcleo de é trivial, então é linear, é falsa. A linearidade de uma transformação não requer que o núcleo seja apenas o vetor zero; ela depende das propriedades de aditividade e homogeneidade serem satisfeitas.
Resposta
Falsa. Uma transformação linear pode ter um núcleo maior que apenas o vetor zero. A linearidade não exige que .