Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
A transformação
, só é linear se
.
A transformação
Passo 1
Vamos entender o que a afirmação está dizendo. Ela afirma que "A transformação
só é linear se
". Aqui, estamos falando sobre transformações lineares e o conceito de núcleo (ker) de uma transformação.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação
é linear se, para todos os vetores
e para qualquer escalar
, as seguintes propriedades são verdadeiras:
-
(aditividade) -
(homogeneidade)
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o núcleo de
, denotado por
. O núcleo é o conjunto de todos os vetores em
que são mapeados para o vetor zero em
:
Passo 4
A afirmação diz que só se
, então
é linear. Vamos analisar isso. Se
, isso significa que somente o vetor zero de
é mapeado para o vetor zero de
. Essa condição garante que
seja injetora (não há dois vetores diferentes em
que são mapeados para o mesmo vetor em
).
Passo 5
No entanto, a linearidade de
não depende apenas do núcleo ser trivial. Uma transformação pode ser linear mesmo se o núcleo contiver mais vetores além de
. Por exemplo, considere a transformação
definida por:
Essa transformação é linear porque satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, e seu núcleo é
, que contém infinitos vetores além de
.
Passo 6
Portanto, a afirmação de que só se o núcleo de
é trivial, então
é linear, é falsa. A linearidade de uma transformação não requer que o núcleo seja apenas o vetor zero; ela depende das propriedades de aditividade e homogeneidade serem satisfeitas.
Resposta
Falsa. Uma transformação linear pode ter um núcleo maior que apenas o vetor zero. A linearidade não exige que
.