Verifique se as afirmativas abaixo são falsas ou verdadeiras, em caso de falso, justifique sua resposta.
A transformação T: V W, só é linear se Ker(T)=0V.

Passo 1

Vamos entender o que a afirmação está dizendo. Ela afirma que "A transformação só é linear se ". Aqui, estamos falando sobre transformações lineares e o conceito de núcleo (ker) de uma transformação.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma transformação linear. Uma transformação é linear se, para todos os vetores e para qualquer escalar , as seguintes propriedades são verdadeiras:
  1. (aditividade)
  2. (homogeneidade)

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o núcleo de Ker(T) = v in V mid T(v) = 0W , denotado por . O núcleo é o conjunto de todos os vetores em que são mapeados para o vetor zero em :

Passo 4

A afirmação diz que se , então é linear. Vamos analisar isso. Se , isso significa que somente o vetor zero de é mapeado para o vetor zero de . Essa condição garante que seja injetora (não há dois vetores diferentes em que são mapeados para o mesmo vetor em ).

Passo 5

No entanto, a linearidade de T(x, y) = (x, 0) não depende apenas do núcleo ser trivial. Uma transformação pode ser linear mesmo se o núcleo contiver mais vetores além de . Por exemplo, considere a transformação definida por:
Essa transformação é linear porque satisfaz as propriedades de aditividade e homogeneidade, e seu núcleo é , que contém infinitos vetores além de .

Passo 6

Portanto, a afirmação de que se o núcleo de é trivial, então é linear, é falsa. A linearidade de uma transformação não requer que o núcleo seja apenas o vetor zero; ela depende das propriedades de aditividade e homogeneidade serem satisfeitas.

Resposta

Falsa. Uma transformação linear pode ter um núcleo maior que apenas o vetor zero. A linearidade não exige que .

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