4 Ouestão: (Valor: 2.5) = Um cilindro maciço com raio r=1 2 , 8 c m e massa m=16 kg parte do repouso e rola para baixo uma distância L=8 , 0 m, sem deslizar, em um telhado com uma inclinação theta=34^circ. Qual é a velocidade angular e energia cinética do cilindro em relação ao eixo central ao deixar o telhado?
I=12 m r^2 w=VR

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro maciço que está rolando sem deslizar por um telhado inclinado. O que a gente precisa descobrir é a velocidade angular ( omega) e a energia cinética do cilindro quando ele sai do telhado. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de dinâmica de rotação e conservação de energia. Precisaremos das fórmulas do momento de inércia do cilindro, da relação entre velocidade linear e angular, e da energia cinética total.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento do cilindro. Ele está rolando sem deslizar, o que significa que há uma relação direta entre a velocidade linear ( v) do centro de massa e a velocidade angular ( omega) em relação ao eixo central:
omega = vr
Onde:
  • r é o raio do cilindro.

Passo 3

Agora, vamos pensar na energia envolvida. No início, o cilindro tem energia potencial devido à altura que vai descer. Quando ele rola para baixo, essa energia potencial se transforma em energia cinética, que tem duas partes: a energia cinética de translação e a energia cinética de rotação.
A energia potencial inicial ( Ep) é dada por:
Ep = m cdot g cdot h
Onde:
  • m é a massa,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • h é a altura.

Passo 4

A energia cinética total ( Ek) quando o cilindro está em movimento é:
Ek = 12 m v^2 + 12 I omega^2
Sabemos que o momento de inércia ( I) de um cilindro maciço em relação ao seu eixo central é:
I = 12 m r^2
E como omega = vr, podemos substituir na equação da energia cinética.

Passo 5

Como não há perda de energia e o cilindro parte do repouso, a energia potencial inicial se iguala à energia cinética final:
m cdot g cdot h = 12 m v^2 + 12 ( 12 m r^2 ) ( vr )^2
Simplificando:
m cdot g cdot h = 12 m v^2 + 14 m v^2
m cdot g cdot h = 34 m v^2
Podemos cancelar o m dos dois lados:
g cdot h = 34 v^2

Passo 6

Precisamos relacionar a altura ( h) com a distância L que o cilindro percorre na inclinação. Sabemos que:
h = L cdot sin(theta)
Substituindo:
g cdot L cdot sin(theta) = 34 v^2
Agora, resolvendo para v:
v = raiz 4 cdot g cdot L cdot sin(theta)3

Passo 7

Vamos substituir os valores numéricos:
  • g = 9,81 , m/s^2
  • L = 8,0 , m
  • theta = 34^circ
Primeiro, calculando sin(34^circ):
sin(34^circ) approx 0,5592
Agora:
v = raiz 4 cdot 9,81 cdot 8,0 cdot 0,55923
v = raiz 4 cdot 9,81 cdot 8,0 cdot 0,55923 approx raiz 176,5453 approx raiz58,848 approx 7,67 , m/s

Passo 8

Agora que temos a velocidade linear v, podemos encontrar a velocidade angular omega usando a relação:
omega = vr
Substituindo os valores:
omega = 7,670,128 approx 59,92 , rad/s

Passo 9

Com a velocidade v conhecida, podemos calcular a energia cinética total:
Ek = 34 m v^2
Substituindo os valores:
Ek = 34 cdot 16 cdot (7,67)^2
Ek = 12 cdot 58,848 approx 706,176 , J

Resposta

A velocidade angular do cilindro ao deixar o telhado é aproximadamente 59,92, rad/s e a energia cinética total é cerca de 706,18, J.

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