4 Ouestão: (Valor: 2.5) = Um cilindro maciço com raio
e massa
parte do repouso e rola para baixo uma distância
, sem deslizar, em um telhado com uma inclinação
. Qual é a velocidade angular e energia cinética do cilindro em relação ao eixo central ao deixar o telhado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um cilindro maciço que está rolando sem deslizar por um telhado inclinado. O que a gente precisa descobrir é a velocidade angular (
) e a energia cinética do cilindro quando ele sai do telhado. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de dinâmica de rotação e conservação de energia. Precisaremos das fórmulas do momento de inércia do cilindro, da relação entre velocidade linear e angular, e da energia cinética total.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento do cilindro. Ele está rolando sem deslizar, o que significa que há uma relação direta entre a velocidade linear (
) do centro de massa e a velocidade angular (
) em relação ao eixo central:
Onde:
-
é o raio do cilindro.
Passo 3
Agora, vamos pensar na energia envolvida. No início, o cilindro tem energia potencial devido à altura que vai descer. Quando ele rola para baixo, essa energia potencial se transforma em energia cinética, que tem duas partes: a energia cinética de translação e a energia cinética de rotação.
A energia potencial inicial (
) é dada por:
Onde:
-
é a massa, -
é a aceleração da gravidade, -
é a altura.
Passo 4
A energia cinética total (
) quando o cilindro está em movimento é:
Sabemos que o momento de inércia (
) de um cilindro maciço em relação ao seu eixo central é:
E como
, podemos substituir na equação da energia cinética.
Passo 5
Como não há perda de energia e o cilindro parte do repouso, a energia potencial inicial se iguala à energia cinética final:
Simplificando:
Podemos cancelar o
dos dois lados:
Passo 6
Precisamos relacionar a altura (
) com a distância
que o cilindro percorre na inclinação. Sabemos que:
Substituindo:
Agora, resolvendo para
:
Passo 7
Vamos substituir os valores numéricos:
Primeiro, calculando
:
Agora:
Passo 8
Agora que temos a velocidade linear
, podemos encontrar a velocidade angular
usando a relação:
Substituindo os valores:
Passo 9
Com a velocidade
conhecida, podemos calcular a energia cinética total:
Substituindo os valores:
Resposta
A velocidade angular do cilindro ao deixar o telhado é aproximadamente
e a energia cinética total é cerca de
.