traçando o gráfico da função

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer traçar o gráfico da função . Para fazer isso, vamos usar conceitos de funções, domínio, pontos importantes e comportamento do gráfico. Vamos precisar entender como a função se comporta para diferentes valores de e calcular alguns pontos chave.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, os valores de para os quais a função está definida. Olhando para , o que está dentro da raiz deve ser maior ou igual a zero:
Vamos resolver essa inequação.

Passo 3

Resolvendo :
Fatorando:
As soluções são onde o produto é positivo ou zero. Isso acontece quando ou . Então, o domínio de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular alguns pontos para ter uma noção de como o gráfico se comporta.
Vamos escolher alguns valores de dentro do domínio e calcular .
Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Vamos também analisar o comportamento da função para valores grandes de .
Quando tende ao infinito positivo:
Então, para grande, a função se comporta como , que é uma reta crescente.
Para tendendo a menos infinito:
Então, para muito negativo, a função tende a 1.

Passo 6

Vamos resumir os pontos calculados e o comportamento observado:
  • :
  • :
  • :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Com essas informações, podemos esboçar o gráfico:
  • No ponto a função cruza o eixo .
  • No ponto , a função cruza o eixo .
  • A função cresce para , aproximando-se da reta .
  • Para , a função se aproxima de .

Resposta

O gráfico de possui um ponto em , cruza o eixo em , cresce para a direita aproximando-se da reta e se aproxima horizontalmente de para muito negativo. Com esses pontos e comportamentos, você pode traçar um gráfico suave que reflete essas características.

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Calcular para
Dadas as funções e , determine:
Se para todo , determine .
Calcule os limites abaixo. Caso seja necessário calcule os limites laterais:
(12)