Com
assim determinado, escreva
para
e calcule o valor de
no instante
. Obtenha o valor médio
da posição no tempo
Resposta:
Resposta:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o estado
no tempo
, calcular o valor de
nesse instante e também determinar o valor médio da posição
. Isso tudo está dentro da matéria de Mecânica Quântica, mais especificamente tratando da evolução temporal de estados quânticos e de como calcular valores esperados. Para resolver, vamos precisar usar a equação de Schrödinger dependente do tempo e entender como os operadores atuam nos estados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a evolução temporal de um estado quântico é dada por:
onde
é o hamiltoniano do sistema. Supondo que
seja independente do tempo e que possamos diagonalizá-lo, essa exponencial pode ser simplificada usando autovalores e autovetores.
Passo 3
Vamos considerar que o estado
está descrito por uma combinação de autovetores de
. Então, aplicando o operador de evolução temporal, temos:
Isso significa que cada componente do estado inicial irá oscilar com uma fase que depende da energia associada a ela.
Passo 4
Agora, para calcular
no instante
, observamos que a fase associada a
sofre uma variação linear no tempo devido à terminação
, onde
é a frequência angular. Assim, temos:
Isso indica que a fase inicial
diminui com o tempo, modulada pela frequência
.
Passo 5
Por fim, vamos encontrar o valor médio da posição
. O valor esperado de um operador
num estado
é dado por:
Substituindo
pela expressão que encontramos e considerando que os valores médios envolvem funções trigonométricas devido à fase
, chegamos a:
Isso mostra como o valor médio da posição varia no tempo de forma harmônica, com amplitude proporcional ao valor inicial
.
Resposta
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Utilizando as dicas do complemento
(ítem b), mostre que:
( 1,0 ponto) A partir do resultado do fiem (b) dotermne o cooficiente k da relacho esperada entre deflesito
e forga aplicacda
, valica no limite alantico
Utilizando os operadores
e
, mostre que: