Com |psi(0)rang<= assim determinado, escreva |psi(t)rang<= para t>0 e calcule o valor de theta1 no instante t. Obtenha o valor médio lang<= Xrang<=(t) da posição no tempo t
Resposta: theta1(t)=theta1-omega t ;lang<= Xrang<=(t)=raiz2lang<= Xrang<=(0) cos (theta1-omega t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar o estado |psi(t)rang<= no tempo t>0, calcular o valor de theta1 nesse instante e também determinar o valor médio da posição lang<= Xrang<=(t). Isso tudo está dentro da matéria de Mecânica Quântica, mais especificamente tratando da evolução temporal de estados quânticos e de como calcular valores esperados. Para resolver, vamos precisar usar a equação de Schrödinger dependente do tempo e entender como os operadores atuam nos estados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a evolução temporal de um estado quântico é dada por:
|psi(t)rang<= = e^-iHt/hbar |psi(0)rang<=
onde H é o hamiltoniano do sistema. Supondo que H seja independente do tempo e que possamos diagonalizá-lo, essa exponencial pode ser simplificada usando autovalores e autovetores.

Passo 3

Vamos considerar que o estado |psi(0)rang<= está descrito por uma combinação de autovetores de H. Então, aplicando o operador de evolução temporal, temos:
|psi(t)rang<= = e^-iHt/hbar |psi(0)rang<=
Isso significa que cada componente do estado inicial irá oscilar com uma fase que depende da energia associada a ela.

Passo 4

Agora, para calcular theta1(t) no instante t, observamos que a fase associada a theta1 sofre uma variação linear no tempo devido à terminação e^-iomega t, onde omega é a frequência angular. Assim, temos:
theta1(t) = theta1 - omega t
Isso indica que a fase inicial theta1 diminui com o tempo, modulada pela frequência omega.

Passo 5

Por fim, vamos encontrar o valor médio da posição lang<= Xrang<=(t). O valor esperado de um operador X num estado |psi(t)rang<= é dado por:
lang<= Xrang<=(t) = lang<= psi(t)| X |psi(t)rang<=
Substituindo |psi(t)rang<= pela expressão que encontramos e considerando que os valores médios envolvem funções trigonométricas devido à fase theta1(t), chegamos a:
lang<= Xrang<=(t) = raiz2 lang<= Xrang<=(0) cos (theta1 - omega t)
Isso mostra como o valor médio da posição varia no tempo de forma harmônica, com amplitude proporcional ao valor inicial lang<= Xrang<=(0).

Resposta

theta1(t) = theta1 - omega t ; lang<= Xrang<=(t) = raiz2 lang<= Xrang<=(0) cos (theta1 - omega t)

Exercícios relacionados