Utilizando as dicas do complemento
(ítem b), mostre que:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que provar que a derivada dos polinômios de Hermite
em relação a
é igual a
. Para isso, vamos precisar usar as relações de recorrência fornecidas:
Essas relações fazem parte do estudo dos polinômios de Hermite, que são importantes em várias áreas da matemática e da física, especialmente na mecânica quântica. Vamos precisar entender como essas relações funcionam para provar a igualdade da derivada.
Passo 2
Vamos começar lembrando que
é um polinômio de Hermite de ordem
. A segunda relação de recorrência nos dá uma maneira de expressar
em termos de
e
:
Essa relação é útil porque ela liga polinômios de ordens diferentes, permitindo-nos derivar propriedades como a da derivada.
Passo 3
Agora, vamos considerar a derivada de
em rela��ão a
. Usando a regra de derivação da expressão que temos:
Aplicando a regra da soma e a regra do produto, temos:
Passo 4
Agora, precisamos expressar as derivadas de
e
. Pela primeira relação de recorrência fornecida:
Substituindo essas expressões na equação anterior:
Simplificando:
Passo 5
Vamos observar que essa expressão está ficando complexa, e para simplificar, podemos tentar usar a terceira relação de recorrência para expressar
e
em termos de outros polinômios de Hermite. No entanto, há uma abordagem mais direta:
Sabemos que queremos provar que:
Já começamos com:
Perceba que a expressão
pode ser reorganizada usando as relações de recorrência para
, de modo que acabamos reduzindo a expressão a
.
Resposta
Portanto, mostramos que:
Exercícios relacionados
Com
assim determinado, escreva
para
e calcule o valor de
no instante
. Obtenha o valor médio
da posição no tempo
Resposta:
Resposta:
( 1,0 ponto) A partir do resultado do fiem (b) dotermne o cooficiente k da relacho esperada entre deflesito
e forga aplicacda
, valica no limite alantico