O ouro, que tem uma massa específica de , é um metal extremamente dúctil e maleável, isto é, pode ser transformado em fios ou folhas muito finas. Se, em vez disso, o ouro é transformado em um fio cilíndrico com de raio, qual é o comprimento do fio?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão tá pedindo. A gente sabe que o ouro tem uma densidade de . A pergunta quer saber qual o comprimento de um fio cilíndrico de ouro que tem um raio de . Pra resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de densidade, volume e geometria de cilindros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a densidade ( ) é a massa ( ) dividida pelo volume ( ):
Como o ouro está sendo transformado de uma forma para outra sem perder massa, a massa permanece constante. Portanto, podemos relacionar os volumes das duas formas.

Passo 3

Agora, vamos calcular o volume do fio cilíndrico. A fórmula do volume de um cilindro é:
Onde:
  • é o volume
  • é o raio
  • é o comprimento
Nosso objetivo é encontrar o comprimento , então podemos rearranjar a fórmula:

Passo 4

Sabemos que a densidade é , então podemos expressar o volume em termos da massa:
Substituindo isso na fórmula do comprimento:

Passo 5

Agora, precisamos garantir que as unidades estejam compatíveis. O raio foi dado em micrômetros ( ), vamos converter para centímetros para combinar com a densidade:

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando:

Passo 7

Finalmente, podemos calcular o comprimento se soubermos a massa . Mas como a massa não foi fornecida, deixamos a resposta em termos de :

Resposta

O comprimento do fio é dado por:
Onde é a massa de ouro transformada no fio.

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