Sejam e três vetores tais que o ângulo entre quaisquer dois deles, nessa ordem, é . Sabendo que e , calcule .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores, , e , e o ângulo entre cada par deles é de . As magnitudes desses vetores são , e . Nosso objetivo é encontrar a magnitude da soma desses três vetores, ou seja, . Para isso, vamos usar conceitos de adição de vetores e o produto escalar que nos ajuda a lidar com ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a magnitude de um vetor resultante da soma de vários vetores pode ser calculada usando o produto escalar:
Isso significa que vamos expandir o produto escalar para facilitar os cálculos.

Passo 3

Expandindo o produto escalar:
Como o produto escalar é comutativo ( ), podemos simplificar isso para:

Passo 4

Vamos substituir as magnitudes conhecidas:
Então, somando esses valores:
Agora, precisamos calcular os produtos escalares entre os vetores.

Passo 5

Sabemos que o produto escalar entre dois vetores pode ser calculado pela fórmula:
Onde é o ângulo entre os vetores. Como o ângulo entre quaisquer dois vetores é , temos:

Passo 6

Agora, somamos esses produtos escalares:
Multiplicamos por 2, conforme a expressão expandida:

Passo 7

Agora, somamos os valores obtidos:
Essa é a magnitude ao quadrado da soma dos vetores. Para encontrar a magnitude, tiramos a raiz quadrada:

Resposta

A magnitude da soma dos vetores é .

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Seja um conjunto parcialmente ordenado. Determine a relação de recobrimento da ordem parcial no conjunto dos divisores de 12.
Se , determine os valores de de modo que os vetores e sejam: (a) perpendiculares; (b) paralelos.
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, e .
Sejam e . Determine um vetor perpendicular aos vetores e e tal que .