Sejam a, b e c três vetores tais que o ângulo entre quaisquer dois deles, nessa ordem, é 60^circ. Sabendo que |a|=3,|b|=2 e |c|=6, calcule |a+b+c|.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três vetores, a, b e c, e o ângulo entre cada par deles é de 60^circ. As magnitudes desses vetores são |a| = 3, |b| = 2 e |c| = 6. Nosso objetivo é encontrar a magnitude da soma desses três vetores, ou seja, |a + b + c|. Para isso, vamos usar conceitos de adição de vetores e o produto escalar que nos ajuda a lidar com ângulos entre vetores.

Passo 2

Primeiro, lembramos que a magnitude de um vetor resultante da soma de vários vetores pode ser calculada usando o produto escalar:
|a + b + c|^2 = (a + b + c) cdot (a + b + c)
Isso significa que vamos expandir o produto escalar para facilitar os cálculos.

Passo 3

Expandindo o produto escalar:
(a + b + c) cdot (a + b + c) = a cdot a + a cdot b + a cdot c + b cdot a + b cdot b + b cdot c + c cdot a + c cdot b + c cdot c
Como o produto escalar é comutativo ( x cdot y = y cdot x), podemos simplificar isso para:
|a|^2 + |b|^2 + |c|^2 + 2(a cdot b + a cdot c + b cdot c)

Passo 4

Vamos substituir as magnitudes conhecidas:
|a|^2 = 3^2 = 9
|b|^2 = 2^2 = 4
|c|^2 = 6^2 = 36
Então, somando esses valores:
9 + 4 + 36 = 49
Agora, precisamos calcular os produtos escalares entre os vetores.

Passo 5

Sabemos que o produto escalar entre dois vetores pode ser calculado pela fórmula:
x cdot y = |x| |y| cos(theta)
Onde theta é o ângulo entre os vetores. Como o ângulo entre quaisquer dois vetores é 60^circ, temos:
a cdot b = 3 times 2 times cos(60^circ) = 6 times 0,5 = 3
a cdot c = 3 times 6 times cos(60^circ) = 18 times 0,5 = 9
b cdot c = 2 times 6 times cos(60^circ) = 12 times 0,5 = 6

Passo 6

Agora, somamos esses produtos escalares:
a cdot b + a cdot c + b cdot c = 3 + 9 + 6 = 18
Multiplicamos por 2, conforme a expressão expandida:
2 times 18 = 36

Passo 7

Agora, somamos os valores obtidos:
49 + 36 = 85
Essa é a magnitude ao quadrado da soma dos vetores. Para encontrar a magnitude, tiramos a raiz quadrada:
|a + b + c| = raiz85

Resposta

A magnitude da soma dos vetores é raiz85.

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