Sejam
e
três vetores tais que o ângulo entre quaisquer dois deles, nessa ordem, é
. Sabendo que
e
, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos três vetores,
,
e
, e o ângulo entre cada par deles é de
. As magnitudes desses vetores são
,
e
. Nosso objetivo é encontrar a magnitude da soma desses três vetores, ou seja,
. Para isso, vamos usar conceitos de adição de vetores e o produto escalar que nos ajuda a lidar com ângulos entre vetores.
Passo 2
Primeiro, lembramos que a magnitude de um vetor resultante da soma de vários vetores pode ser calculada usando o produto escalar:
Isso significa que vamos expandir o produto escalar para facilitar os cálculos.
Passo 3
Expandindo o produto escalar:
Como o produto escalar é comutativo (
), podemos simplificar isso para:
Passo 4
Vamos substituir as magnitudes conhecidas:
Então, somando esses valores:
Agora, precisamos calcular os produtos escalares entre os vetores.
Passo 5
Sabemos que o produto escalar entre dois vetores pode ser calculado pela fórmula:
Onde
é o ângulo entre os vetores. Como o ângulo entre quaisquer dois vetores é
, temos:
Passo 6
Agora, somamos esses produtos escalares:
Multiplicamos por 2, conforme a expressão expandida:
Passo 7
Agora, somamos os valores obtidos:
Essa é a magnitude ao quadrado da soma dos vetores. Para encontrar a magnitude, tiramos a raiz quadrada:
Resposta
A magnitude da soma dos vetores é
.
Exercícios relacionados
Seja
um conjunto parcialmente ordenado. Determine a relação de recobrimento da ordem parcial
no conjunto
dos divisores de 12.
Se
, determine os valores de
de modo que os vetores
e
sejam: (a) perpendiculares; (b) paralelos.
Determine a reta simétrica à reta
em relação à reta
, onde:
, e
.
Sejam
e
. Determine um vetor
perpendicular aos vetores
e
e tal que
.