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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve a definição de limite utilizando a ideia de epsilon-delta. Aqui, a gente tem a função e queremos encontrar um valor de tal que, se , então . Basicamente, queremos saber quão perto precisa estar de 1 para que a expressão fique bem próxima de 0,4.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Isso quer dizer que a diferença entre e 0,4 deve ser menor que 0,1. Vamos simplificar essa expressão:

Passo 3

Vamos resolver a desigualdade:
Primeiro, simplificamos a expressão dentro do valor absoluto:
Mas para facilitar, vamos trabalhar de outra forma. Vamos isolar a fração:
Podemos escrever como , então:

Passo 4

Agora, vamos combinar as frações:
Simplificando o numerador:
Então, temos:
Podemos multiplicar ambos os lados por para eliminar o denominador:
Distribuindo o lado direito:
Agora, vamos resolver essa desigualdade para encontrar os valores de que satisfazem a condição.

Passo 5

Para simplificar, vamos considerar que está próximo de 1, então será próximo de 1. Vamos supor que está em um intervalo pequeno ao redor de 1, como , ou seja, .
Dentro desse intervalo, podemos estimar entre e . Assim, está entre 5 e 8.
Voltando à desigualdade original:
Vamos encontrar tal que:
Resolvendo a desigualdade:
Agora, resolvemos para :
Multiplicando todos os termos por :
Resolvendo cada parte:
Para :
E para :
Resolvendo essas inequações, encontramos que pode ser 0,5.

Resposta

Então, o valor de que satisfaz a condição do exercício é .

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