Resolva o problema de valor inicial

Passo 1

Ok, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais exatas. Basicamente, queremos encontrar uma função que satisfaça essa equação e também a condição inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma equação na forma é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a .
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 3

Como a equação é exata, existe uma função tal que:
E queremos encontrar . Para isso, integramos em relação a :
Aqui, é uma função de que aparece porque a integração em relação a pode ter uma constante que depende de .

Passo 4

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso nos dá:
Integrando em relação a :
Onde é uma constante de integração.

Passo 5

Então, a função completa é:
Como queremos que , podemos escrever:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Então, .

Passo 7

Finalmente, substituímos de volta na equação:
Podemos fatorar :
E isolamos :

Resposta

A solução do problema de valor inicial é:

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Verificar se a função é solução da equação diferencial .
Resolva o problema de valor inicial
Verificar se a função é solução da equação diferencial .