Resolva o problema de valor inicial
Passo 1
Ok, vamos lá! O que temos aqui é um problema de valor inicial envolvendo uma equação diferencial ordinária de primeira ordem. O enunciado é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver equações diferenciais exatas. Basicamente, queremos encontrar uma função
que satisfaça essa equação e também a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a equação diferencial é exata. Uma equação na forma
é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
.
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata!
Passo 3
Como a equação é exata, existe uma função
tal que:
E queremos encontrar
. Para isso, integramos
em relação a
:
Aqui,
é uma função de
que aparece porque a integração em relação a
pode ter uma constante que depende de
.
Passo 4
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso nos dá:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 5
Então, a função
completa é:
Como queremos que
, podemos escrever:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Então,
.
Passo 7
Finalmente, substituímos
de volta na equação:
Podemos fatorar
:
E isolamos
:
Resposta
A solução do problema de valor inicial é: