Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! A gente precisa descobrir se a série converge ou não. Isso faz parte da matéria de séries infinitas, e vamos precisar entender alguns testes de convergência para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão geral da série: . Para entender se a série converge, podemos usar o teste da razão, que é muito útil quando temos fatoriais envolvidos.
Passo 3
O teste da razão funciona assim: a gente calcula o limite , onde ak é o termo geral da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente.
Passo 4
Vamos aplicar esse teste na nossa série. Aqui, ak = k!k^k, então:
Passo 5
Simplificando a expressão:
Passo 6
Agora, vamos calcular o limite quando k tende ao infinito:
limk to infty (kk+1)^k times 1k+1
Sabemos que (kk+1)^k = (1 - 1k+1)^k approx 1e quando k é grande.
Passo 7
Então, o limite fica:
limk to infty 1e times 1k+1 = 0
Como 0 é menor que 1, segundo o teste da razão, a série converge absolutamente.