(3,0 p)-Determines se as séries são convergentes:
sumk=1^infty k!k^k

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse problema! A gente precisa descobrir se a série sumk=1^infty k!k^k converge ou não. Isso faz parte da matéria de séries infinitas, e vamos precisar entender alguns testes de convergência para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão geral da série: k!k^k. Para entender se a série converge, podemos usar o teste da razão, que é muito útil quando temos fatoriais envolvidos.

Passo 3

O teste da razão funciona assim: a gente calcula o limite limk to infty | ak+1ak |, onde ak é o termo geral da série. Se esse limite for menor que 1, a série converge absolutamente.

Passo 4

Vamos aplicar esse teste na nossa série. Aqui, ak = k!k^k, então:

Passo 5

Simplificando a expressão:

Passo 6

Agora, vamos calcular o limite quando k tende ao infinito:
limk to infty (kk+1)^k times 1k+1
Sabemos que (kk+1)^k = (1 - 1k+1)^k approx 1e quando k é grande.

Passo 7

Então, o limite fica:
limk to infty 1e times 1k+1 = 0
Como 0 é menor que 1, segundo o teste da razão, a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumk=1^infty k!k^k converge.

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