(3,0 p)-Determines se as séries são convergentes:
sumk=1^infty ln (1+1k^2)

Passo 1

Vamos analisar a série . Nosso objetivo é determinar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos utilizar conceitos de testes de convergência de séries, especificamente o teste de comparação.

Passo 2

Primeiro, observamos que conforme aumenta, o termo se torna cada vez menor. Isso significa que estamos lidando com termos que tendem a zero à medida que cresce.

Passo 3

Vamos usar uma aproximação útil para termos pequenos: para ln(1 + 1k^2) approx 1k^2 próximo de 0, temos . Aplicando isso ao nosso termo, temos:

Passo 4

Agora, comparamos nossa série original com a série . Sabemos que essa última é uma série p, onde .

Passo 5

Uma série p converge se . Como aqui , a série converge.

Passo 6

Como nossos termos são aproximadamente iguais a e menores que eles para todo , pelo teste de comparaç��o, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série é convergente.

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