Se
e
são, respectivamente, o momento, a energia, a massa de repouso e a velocidade de uma partícula, mostre que: Se
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que, se a velocidade
de uma partícula é igual à velocidade da luz
, então a sua massa de repouso
é igual a zero. Vamos usar conceitos de Relatividade Especial, que trata das relações entre energia, momento e massa em altas velocidades. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas que relacionam energia, momento e massa na relatividade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula da energia total
de uma partícula na Relatividade Especial:
Onde
é o fator de Lorentz, dado por:
Passo 3
Também temos a relação entre energia
, momento
e massa de repouso
:
Essa equação mostra como energia, momento e massa estão interligados.
Passo 4
Agora, vamos considerar o caso em que a velocidade
da partícula é igual à velocidade da luz
:
Substituindo esse valor na expressão do fator de Lorentz
:
Isso nos mostra que, para
, o fator
se torna infinito a menos que
.
Passo 5
Voltando à relação entre energia e momento:
Se
, sabemos que a partícula está se movendo à velocidade da luz, o que implica que sua energia é totalmente cinética e não há massa de repouso. Então, para evitar que a energia se torne infinita, devemos ter:
Resposta
Portanto, se
, então
.