Seja a matriz cujas colunas são os autovetores de , mostre que , ou seja, mostre que a matriz é uma matriz unitária.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a matriz , que tem como colunas os autovetores de uma matriz , é uma matriz unitária. Isso significa que precisamos provar que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes unitárias, autovetores e propriedades de matrizes conjugadas transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz unitária. Uma matriz é unitária se ela satisfaz a seguinte condição:
Aqui, representa a matriz conjugada transposta de e é a matriz identidade. Isso implica que a inversa de é igual à sua conjugada transposta, ou seja, .
Passo 3
Agora, sabemos que os autovetores de uma matriz podem formar uma base do espaço vetorial, especialmente se for diagonalizável. Além disso, se os autovetores forem ortonormais, a matriz formada por eles terá propriedades unitárias.
Vamos assumir que os autovetores de são ortonormais. Isso significa que cada coluna de tem norma 1 e é ortogonal às outras colunas. Ou seja:
Passo 4
Considerando que , podemos multiplicar ambos os lados por (se existir):
Esta igualdade mostra que a conjugada transposta de é igual à sua inversa, que é exatamente a definição de uma matriz unitária.
Resposta
Portanto, mostramos que , confirmando que a matriz é unitária.