(0.5 p t) Seja U a matriz cujas colunas são os autovetores de A, mostre que U^*=U^-1, ou seja, mostre que a matriz U é uma matriz unitária.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a matriz , que tem como colunas os autovetores de uma matriz , é uma matriz unitária. Isso significa que precisamos provar que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes unitárias, autovetores e propriedades de matrizes conjugadas transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz unitária. Uma matriz U^* U = I é unitária se ela satisfaz a seguinte condição:
Aqui, representa a matriz conjugada transposta de e é a matriz identidade. Isso implica que a inversa de é igual à sua conjugada transposta, ou seja, .

Passo 3

Agora, sabemos que os autovetores de uma matriz U^* U = I podem formar uma base do espaço vetorial, especialmente se for diagonalizável. Além disso, se os autovetores forem ortonormais, a matriz formada por eles terá propriedades unitárias.
Vamos assumir que os autovetores de são ortonormais. Isso significa que cada coluna de tem norma 1 e é ortogonal às outras colunas. Ou seja:

Passo 4

Considerando que U^* = U^-1 , podemos multiplicar ambos os lados por (se existir):
Esta igualdade mostra que a conjugada transposta de é igual à sua inversa, que é exatamente a definição de uma matriz unitária.

Resposta

Portanto, mostramos que , confirmando que a matriz é unitária.

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