Seja
a matriz cujas colunas são os autovetores de
, mostre que
, ou seja, mostre que a matriz
é uma matriz unitária.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a matriz
, que tem como colunas os autovetores de uma matriz
, é uma matriz unitária. Isso significa que precisamos provar que
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes unitárias, autovetores e propriedades de matrizes conjugadas transpostas.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz unitária. Uma matriz
é unitária se ela satisfaz a seguinte condição:
Aqui,
representa a matriz conjugada transposta de
e
é a matriz identidade. Isso implica que a inversa de
é igual à sua conjugada transposta, ou seja,
.
Passo 3
Agora, sabemos que os autovetores de uma matriz
podem formar uma base do espaço vetorial, especialmente se
for diagonalizável. Além disso, se os autovetores forem ortonormais, a matriz formada por eles terá propriedades unitárias.
Vamos assumir que os autovetores de
são ortonormais. Isso significa que cada coluna de
tem norma 1 e é ortogonal às outras colunas. Ou seja:
Passo 4
Considerando que
, podemos multiplicar ambos os lados por
(se existir):
Esta igualdade mostra que a conjugada transposta de
é igual à sua inversa, que é exatamente a definição de uma matriz unitária.
Resposta
Portanto, mostramos que
, confirmando que a matriz
é unitária.