(0.5 p t) Seja U a matriz cujas colunas são os autovetores de A, mostre que U^*=U^-1, ou seja, mostre que a matriz U é uma matriz unitária.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a matriz , que tem como colunas os autovetores de uma matriz , é uma matriz unitária. Isso significa que precisamos provar que . Para resolver isso, vamos usar conceitos de matrizes unitárias, autovetores e propriedades de matrizes conjugadas transpostas.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz unitária. Uma matriz U^* U = I é unitária se ela satisfaz a seguinte condição:
Aqui, representa a matriz conjugada transposta de e é a matriz identidade. Isso implica que a inversa de é igual à sua conjugada transposta, ou seja, .

Passo 3

Agora, sabemos que os autovetores de uma matriz U^* U = I podem formar uma base do espaço vetorial, especialmente se for diagonalizável. Além disso, se os autovetores forem ortonormais, a matriz formada por eles terá propriedades unitárias.
Vamos assumir que os autovetores de são ortonormais. Isso significa que cada coluna de tem norma 1 e é ortogonal às outras colunas. Ou seja:

Passo 4

Considerando que U^* = U^-1 , podemos multiplicar ambos os lados por (se existir):
Esta igualdade mostra que a conjugada transposta de é igual à sua inversa, que é exatamente a definição de uma matriz unitária.

Resposta

Portanto, mostramos que , confirmando que a matriz é unitária.

Exercícios relacionados

Sejam as matrizes A=[cccc1 & 0 & 2 & -1 0 & 1 & 0 & 2], B=[cc1 & 0 2 & 1 0 & -1 1 & 1] e In a matriz identidade de ordem n. Calcule, caso exista: A^T+B
Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo de vetores que não satisfazem a igualdade. Caso for verdadeira, justifique em no máximo 3 linhas:
(b) \vec{u} \times(\vec{v} \times \vec{w})=(\vec{u} \times \vec{v}) \times \vec{w}
Sejam \vec{u}=(1,x,-1) e \vec{v}=(-2,x+1,0) vetores ortogonais.
(b) Determine a projeção ortogonal de \vec{u} sobre \vec{v}.
Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo de vetores que não satisfazem a igualdade. Caso for verdadeira, justifique em no máximo 3 linhas:
(b) Se \cos (\angle(u, v))=\operatorname{sen}(\angle(u, v)) , então u cdot v=0ã