Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo de vetores que não satisfazem a igualdade. Caso for verdadeira, justifique em no máximo 3 linhas:
(b) Se \cos (\angle(u, v))=\operatorname{sen}(\angle(u, v)) , então u cdot v=0ã

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores e no espaço . A afirmação nos diz que se , então o produto interno é igual a zero. Vamos verificar se isso é sempre verdade.

Passo 2

Sabemos que o produto interno de dois vetores u cdot v = |u| |v| cos(theta) e é dado por:
onde é o ângulo entre os vetores.

Passo 3

A condição dada é . Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 1 = tan(theta) (assumindo que theta = 45^circ ou theta = 225^circ ), temos:
O que implica que:

Passo 5

Para u cdot v = |u| |v| cdot raiz22 , temos . Substituindo no produto interno:
Isso mostra que se e não forem nulos.

Resposta

Falsa. Por exemplo, sejam e . O ângulo entre eles é , e .

Exercícios relacionados