Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo de vetores que não satisfazem a igualdade. Caso for verdadeira, justifique em no máximo 3 linhas:
(b) Se \cos (\angle(u, v))=\operatorname{sen}(\angle(u, v))
(b) Se \cos (\angle(u, v))=\operatorname{sen}(\angle(u, v))
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores
e
no espaço
. A afirmação nos diz que se , então o produto interno
é igual a zero. Vamos verificar se isso é sempre verdade.
Passo 2
Sabemos que o produto interno de dois vetores
e
é dado por:
onde
é o ângulo entre os vetores.
Passo 3
A condição dada é . Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Passo 4
Dividindo ambos os lados por
(assumindo que
), temos:
O que implica que:
Passo 5
Para
, temos . Substituindo no produto interno:
Isso mostra que
se
e
não forem nulos.
Resposta
Falsa. Por exemplo, sejam
e
. O ângulo entre eles é
, e
.