Sejam \vec{u}, \vec{v} e \vec{w} vetores quaisquer em \mathbb{R}^{3}. Verifique se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. Caso for falsa, dê um exemplo de vetores que não satisfazem a igualdade. Caso for verdadeira, justifique em no máximo 3 linhas:
(b) Se \cos (\angle(u, v))=\operatorname{sen}(\angle(u, v))
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores e no espaço . A afirmação nos diz que se , então o produto interno é igual a zero. Vamos verificar se isso é sempre verdade.
Passo 2
Sabemos que o produto interno de dois vetores e é dado por:
onde é o ângulo entre os vetores.
Passo 3
A condição dada é . Vamos resolver essa equação para encontrar o valor de .
Passo 4
Dividindo ambos os lados por (assumindo que ), temos:
O que implica que:
Passo 5
Para , temos . Substituindo no produto interno:
Isso mostra que se e não forem nulos.
Resposta
Falsa. Por exemplo, sejam e . O ângulo entre eles é , e .