Sejam \vec{u}=(1,x,-1) e \vec{v}=(-2,x+1,0) vetores ortogonais.
(b) Determine a projeção ortogonal de \vec{u} sobre \vec{v}.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e , que são vetores ortogonais. Nossa missão aqui é encontrar a projeção ortogonal de sobre . Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto escalar e a fórmula de projeção de um vetor sobre outro.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular a projeção de um vetor sobre outro. A fórmula é:
Ou seja, a projeção de sobre é igual ao produto escalar de e dividido pelo produto escalar de com ele mesmo, tudo isso multiplicado pelo vetor .
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar . O produto escalar de dois vetores e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 4
Agora, vamos calcular , que é o produto escalar de com ele mesmo:
Passo 5
Com esses valores, substituímos na fórmula da projeção:
Então, a projeção é um múltiplo do vetor , onde o múltiplo é .