Sejam \vec{u}=(1,x,-1) e \vec{v}=(-2,x+1,0) vetores ortogonais.
(b) Determine a projeção ortogonal de \vec{u} sobre \vec{v}.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores, e , que são vetores ortogonais. Nossa missão aqui é encontrar a projeção ortogonal de sobre . Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto escalar e a fórmula de projeção de um vetor sobre outro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como calcular a projeção de um vetor sobre outro. A fórmula é:
Projv,u = ( u cdot vv cdot v ) v
Ou seja, a projeção de sobre é igual ao produto escalar de e dividido pelo produto escalar de com ele mesmo, tudo isso multiplicado pelo vetor .

Passo 3

Vamos calcular o produto escalar u cdot v = a cdot d + b cdot e + c cdot f . O produto escalar de dois vetores u cdot v = 1 cdot (-2) + x cdot (x + 1) + (-1) cdot 0 = -2 + x(x + 1) + 0 = -2 + x^2 + x e é:
Aplicando isso aos nossos vetores:

Passo 4

Agora, vamos calcular v cdot v = (-2)^2 + (x + 1)^2 + 0^2 = 4 + (x^2 + 2x + 1) + 0 = x^2 + 2x + 5 , que é o produto escalar de com ele mesmo:

Passo 5

Com esses valores, substituímos na fórmula da projeção:
Projv,u = ( -2 + x^2 + xx^2 + 2x + 5 ) v
Então, a projeção é um múltiplo do vetor , onde o múltiplo é .

Resposta

A projeção ortogonal de Projv,u = ( x^2 + x - 2x^2 + 2x + 5 ) cdot (-2,, x + 1,, 0) sobre é:

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