Sejam \vec{u}=(1,x,-1) e \vec{v}=(-2,x+1,0) vetores ortogonais.
(b) Determine a projeção ortogonal de \vec{u} sobre \vec{v}.
(b) Determine a projeção ortogonal de \vec{u} sobre \vec{v}.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores,
e
, que são vetores ortogonais. Nossa missão aqui é encontrar a projeção ortogonal de
sobre
. Para isso, vamos precisar usar o conceito de produto escalar e a fórmula de projeção de um vetor sobre outro.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como calcular a projeção de um vetor sobre outro. A fórmula é:
Ou seja, a projeção de
sobre
é igual ao produto escalar de
e
dividido pelo produto escalar de
com ele mesmo, tudo isso multiplicado pelo vetor
.
Passo 3
Vamos calcular o produto escalar
. O produto escalar de dois vetores
e
é:
Aplicando isso aos nossos vetores:
Passo 4
Agora, vamos calcular
, que é o produto escalar de
com ele mesmo:
Passo 5
Com esses valores, substituímos na fórmula da projeção:
Então, a projeção é um múltiplo do vetor
, onde o múltiplo é
.
Resposta
A projeção ortogonal de
sobre
é: