Numa PA o oitavo termo é igual a 16 e o décimo termo é igual a 20. Qual o primeiro termo e a razão dessa progressão?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão está falando sobre uma Progressão Aritmética (PA). Você tem dois termos dessa sequência: o oitavo termo é 16 e o décimo termo é 20. Nosso objetivo é descobrir qual é o primeiro termo da PA e qual é a razão (a diferença comum entre os termos).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona uma Progressão Aritmética. Em uma PA, cada termo é igual ao termo anterior mais uma razão fixa. A fórmula para encontrar o enésimo termo de uma PA é:
Onde:
- $ a_n $ é o enésimo termo,
- $ a_1 $ é o primeiro termo,
- $ r $ é a razão,
- $ n $ é a posição do termo na sequência.
Passo 3
Vamos aplicar essa fórmula para os termos que a gente conhece. Primeiro, para o oitavo termo ($ a_8 = 16 $):
(Essa é a nossa primeira equação.)
Passo 4
Agora, para o décimo termo ($ a_{10} = 20 $):
(Essa é a nossa segunda equação.)
Passo 5
Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas:
- $ 16 = a_1 + 7r $
- $ 20 = a_1 + 9r $
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ a_1 $ e $ r $.
Passo 6
Podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar $ a_1 $:
Então, a razão $ r $ é 2.
Passo 7
Agora que temos a razão, vamos substituir o valor de $ r $ em uma das equações para encontrar $ a_1 $. Vamos usar a primeira equação:
Resposta
O primeiro termo da PA é 2 e a razão é 2.