Numa PA o oitavo termo é igual a 16 e o décimo termo é igual a 20. Qual o primeiro termo e a razão dessa progressão?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão está falando sobre uma Progressão Aritmética (PA). Você tem dois termos dessa sequência: o oitavo termo é 16 e o décimo termo é 20. Nosso objetivo é descobrir qual é o primeiro termo da PA e qual é a razão (a diferença comum entre os termos).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona uma Progressão Aritmética. Em uma PA, cada termo é igual ao termo anterior mais uma razão fixa. A fórmula para encontrar o enésimo termo de uma PA é:
an = a1 + (n - 1) times r
Onde:
  • $ a_n $ é o enésimo termo,
  • $ a_1 $ é o primeiro termo,
  • $ r $ é a razão,
  • $ n $ é a posição do termo na sequência.

Passo 3

Vamos aplicar essa fórmula para os termos que a gente conhece. Primeiro, para o oitavo termo ($ a_8 = 16 $):
a8 = 16
a8 = a1 + (8 - 1) times r
(Essa é a nossa primeira equação.)

Passo 4

Agora, para o décimo termo ($ a_{10} = 20 $):
a10 = 20
a10 = a1 + (10 - 1) times r
(Essa é a nossa segunda equação.)

Passo 5

Temos agora um sistema de duas equações com duas incógnitas:
  1. $ 16 = a_1 + 7r $
  2. $ 20 = a_1 + 9r $
Vamos resolver esse sistema para encontrar $ a_1 $ e $ r $.

Passo 6

Podemos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar $ a_1 $:
a1
(20) - (16) = (a1 + 9r) - (a1 + 7r)
4 = 2r
Então, a razão $ r $ é 2.

Passo 7

Agora que temos a razão, vamos substituir o valor de $ r $ em uma das equações para encontrar $ a_1 $. Vamos usar a primeira equação:
r
a1
16 = a1 + 7 times 2
16 = a1 + 14

Resposta

O primeiro termo da PA é 2 e a razão é 2.

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