Parábola é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de um ponto (foco) e de uma reta (diretriz). Utilize a definição acima para determinar a Equação Reduzida de uma Parábola de vértice na origem do sistema, com reta diretriz de equação
. Esboce a curva definindo os elementos característicos. (Obs.: Seja
um ponto qualquer da Parábola de foco
).
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos que determinar a equação reduzida de uma parábola que tem o vértice na origem do sistema de coordenadas. A reta diretriz dessa parábola é $ y = -\frac{p}{2} $ e o foco está no ponto $ F\left(0, \frac{p}{2}\right) $. Para resolver isso, vamos usar a definição de parábola que diz que todo ponto $ P(x, y) $ na parábola está equidistante do foco e da diretriz. Vamos precisar usar fórmulas de distância entre pontos e de distância de um ponto a uma reta.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a distância entre o ponto qualquer $ P(x, y) $ na parábola e o foco $ F\left(0, \frac{p}{2}\right) $. A fórmula para a distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
Aplicando isso ao nosso caso:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância do ponto $ P(x, y) $ à diretriz $ y = -\frac{p}{2} $. A distância de um ponto $ (x, y) $ a uma reta horizontal $ y = k $ é simplesmente a diferença absoluta entre as coordenadas $ y $ dos pontos:
No nosso caso, $ k = -\frac{p}{2} $, então:
Passo 4
De acordo com a definição da parábola, as duas distâncias que calculamos devem ser iguais:
Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
Expandindo os termos quadrados:
Agora, vamos simplificar a equação, subtraindo $ y^2 $ e $ \frac{p^2}{4} $ de ambos os lados:
Somando $ p y $ em ambos os lados:
Resposta
A equação reduzida da parábola é:
Além disso, os elementos característicos da parábola são:
- Vértice: $ (0, 0) $
- Foco: $ \left(0, \frac{p}{2}\right) $
- Diretriz: $ y = -\frac{p}{2} $
O esboço da parábola será uma curva simétrica em relação ao eixo $ y $, aberta para cima, com o vértice na origem, o foco acima do vértice e a diretriz abaixo do vértice.