Parábola é o lugar geométrico dos pontos que equidistam de um ponto (foco) e de uma reta (diretriz). Utilize a definição acima para determinar a Equação Reduzida de uma Parábola de vértice na origem do sistema, com reta diretriz de equação y=-p2. Esboce a curva definindo os elementos característicos. (Obs.: Seja P(x, y) um ponto qualquer da Parábola de foco F(0, p2) ).

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. Temos que determinar a equação reduzida de uma parábola que tem o vértice na origem do sistema de coordenadas. A reta diretriz dessa parábola é $ y = -\frac{p}{2} $ e o foco está no ponto $ F\left(0, \frac{p}{2}\right) $. Para resolver isso, vamos usar a definição de parábola que diz que todo ponto $ P(x, y) $ na parábola está equidistante do foco e da diretriz. Vamos precisar usar fórmulas de distância entre pontos e de distância de um ponto a uma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a distância entre o ponto qualquer $ P(x, y) $ na parábola e o foco $ F\left(0, \frac{p}{2}\right) $. A fórmula para a distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é:
P(x, y)
Aplicando isso ao nosso caso:
F(0, p2)

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância do ponto $ P(x, y) $ à diretriz $ y = -\frac{p}{2} $. A distância de um ponto $ (x, y) $ a uma reta horizontal $ y = k $ é simplesmente a diferença absoluta entre as coordenadas $ y $ dos pontos:
P(x, y)
No nosso caso, $ k = -\frac{p}{2} $, então:
y = -p2

Passo 4

De acordo com a definição da parábola, as duas distâncias que calculamos devem ser iguais:
raizx^2 + (y - p2)^2 = | y + p2 |
Para resolver essa equação, vamos eliminar a raiz quadrada elevando ambos os lados ao quadrado:
x^2 + (y - p2)^2 = (y + p2)^2
Expandindo os termos quadrados:
x^2 + y^2 - p y + p^24 = y^2 + p y + p^24
Agora, vamos simplificar a equação, subtraindo $ y^2 $ e $ \frac{p^2}{4} $ de ambos os lados:
y^2
Somando $ p y $ em ambos os lados:
p^24

Resposta

A equação reduzida da parábola é:
y = x^22,p
Além disso, os elementos característicos da parábola são:
  • Vértice: $ (0, 0) $
  • Foco: $ \left(0, \frac{p}{2}\right) $
  • Diretriz: $ y = -\frac{p}{2} $
O esboço da parábola será uma curva simétrica em relação ao eixo $ y $, aberta para cima, com o vértice na origem, o foco acima do vértice e a diretriz abaixo do vértice.

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