Relatividade da velocidade e da aceleração. Partindo da forma vetorial (1) das T.L., mostre que a velocidade v e a aceleração a de uma partícula tais como medidas num referencial inercial S, são descritas, na perspectiva de um referencial S^prime que se move com velocidade V em relação a S, respectivamente como (vede referência [2])
v^prime=v^+-V1-v cdot V / c^2 e a^prime=1gamma(a^+-V cdot ac^2 V)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre como a velocidade e a aceleração de uma partícula mudam quando a gente muda de um referencial inercial para outro referencial que está se movendo com uma velocidade em relação a . Para isso, vamos precisar usar as transformações de Lorentz, que são a base da teoria da relatividade especial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das transformações de Lorentz para as coordenadas no espaço e no tempo entre os referenciais x' = gamma (x - Vt) e t' = gamma (t - Vxc^2) . Se está se movendo com velocidade em relação a , então as coordenadas em e em estão relacionadas por:
onde é o fator de Lorentz.

Passo 3

Agora, para encontrar a transformação da velocidade, vamos derivar dx'dt = gamma (dxdt - V) = gamma (v - V) e dt'dt = gamma (1 - Vc^2 dxdt) = gamma (1 - Vvc^2) em relação ao tempo no referencial . A velocidade na direção é dada por .
Derivando :
Derivando :

Passo 4

A velocidade v' = dx'dt' = gamma (v - V)gamma (1 - Vvc^2) = v - V1 - Vvc^2 no referencial é a derivada de em relação a :
Isso nos dá a fórmula para a transformação da velocidade entre os referenciais.

Passo 5

Agora, para a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar v' = v - V1 - v cdot Vc^2 em relação a :
Primeiro, vamos escrever a expressão de de forma geral para componentes vetoriais. Considerando que e podem ter diferentes direções, a transformação vetorial fica:

Passo 6

Para achar a aceleração a' = 1gamma (a - V cdot ac^2 V) no referencial , precisamos considerar como a derivada da velocidade se transforma. Após alguns cálculos envolvendo as transformações de Lorentz e diferenciando a expressão de , chegamos à expressão para a aceleração:

Resposta

As velocidades e acelerações medidas no referencial v^prime = v - V1 - v cdot Vc^2 e a^prime = 1gamma (a - V cdot ac^2 V) são dadas por:

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