Relatividade da velocidade e da aceleração. Partindo da forma vetorial (1) das T.L., mostre que a velocidade
e a aceleração
de uma partícula tais como medidas num referencial inercial
, são descritas, na perspectiva de um referencial
que se move com velocidade
em relação a
, respectivamente como (vede referência [2])
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que fala sobre como a velocidade e a aceleração de uma partícula mudam quando a gente muda de um referencial inercial
para outro referencial
que está se movendo com uma velocidade
em relação a
. Para isso, vamos precisar usar as transformações de Lorentz, que são a base da teoria da relatividade especial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das transformações de Lorentz para as coordenadas no espaço e no tempo entre os referenciais
e
. Se
está se movendo com velocidade
em relação a
, então as coordenadas
em
e
em
estão relacionadas por:
onde
é o fator de Lorentz.
Passo 3
Agora, para encontrar a transformação da velocidade, vamos derivar
e
em relação ao tempo
no referencial
. A velocidade
na direção
é dada por
.
Derivando
:
Derivando
:
Passo 4
A velocidade
no referencial
é a derivada de
em relação a
:
Isso nos dá a fórmula para a transformação da velocidade entre os referenciais.
Passo 5
Agora, para a aceleração, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar
em relação a
:
Primeiro, vamos escrever a expressão de
de forma geral para componentes vetoriais. Considerando que
e
podem ter diferentes direções, a transformação vetorial fica:
Passo 6
Para achar a aceleração
no referencial
, precisamos considerar como a derivada da velocidade se transforma. Após alguns cálculos envolvendo as transformações de Lorentz e diferenciando a expressão de
, chegamos à expressão para a aceleração:
Resposta
As velocidades e acelerações medidas no referencial
são dadas por:
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.