Verifique que a forma vetorial das transformações de Lorentz,
e
, produz o resultado esperado quando
. [Em relatividade é conveniente o uso da notação
, pois se
, obtém-se que
]
Passo 1
Então, vamos lá! O enunciado pede para verificar que as transformações de Lorentz na forma vetorial funcionam como esperado quando a velocidade
está na direção do eixo
. Isso se relaciona com a matéria de Relatividade Especial, especificamente sobre como as coordenadas espaciais e temporais se transformam entre diferentes referenciais em movimento relativo. Para resolver isso, vamos precisar entender as transformações de Lorentz vetoriais dadas e aplicar a condição
.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão para
, que é um fator importante nas transformações de Lorentz:
Esse fator leva em conta os efeitos relativísticos quando a velocidade
se aproxima da velocidade da luz
.
Passo 3
Agora, vamos entender a definição de
fornecida:
Aqui,
é o vetor posição no referencial original, e
é a velocidade relativa entre os referenciais.
Passo 4
Como queremos verificar para o caso em que
, vamos substituir
por
na expressão de
:
Passo 5
Calculando o produto escalar
, que é simplesmente a componente
de
:
Substituindo de volta na expressão de
:
Passo 6
Simplificando a expressão, percebemos que o termo dependente de
está associado apenas à componente
do vetor:
Simplificando ainda mais:
Passo 7
Finalmente, simplificando a expressão obtida:
Isso mostra que, quando
, a transformação
ajusta as componentes
e
do vetor posição por um fator de
, enquanto a componente
permanece inalterada, que é exatamente o resultado esperado.
Resposta
Quando
, a transformação
resulta em
, conforme esperado.