Verifique que a forma vetorial das transformações de Lorentz,
r^prime & =gamma(r^+-V t) t^prime & =gamma(t-V cdot r / c^2)
com r^+ equiv rgamma-(1-gamma V(nabla cdot r)gamma gamma^2 e gamma=1raiz1-V^2 c^2, produz o resultado esperado quando V=V x. [Em relatividade é conveniente o uso da notação A^+ equiv Agamma-(1-gamma V(V cdot A)gamma V^2, pois se V=V x, obtém-se que A^+=(Ax, Ay / gamma, Az / gamma) ]

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para verificar que as transformações de Lorentz na forma vetorial funcionam como esperado quando a velocidade V está na direção do eixo x. Isso se relaciona com a matéria de Relatividade Especial, especificamente sobre como as coordenadas espaciais e temporais se transformam entre diferentes referenciais em movimento relativo. Para resolver isso, vamos precisar entender as transformações de Lorentz vetoriais dadas e aplicar a condição V = V x.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão para gamma, que é um fator importante nas transformações de Lorentz:
gamma = 1raiz1 - V^2c^2
Esse fator leva em conta os efeitos relativísticos quando a velocidade V se aproxima da velocidade da luz c.

Passo 3

Agora, vamos entender a definição de r^+ fornecida:
r^+ equiv rgamma - (1 - gamma) V (V cdot r)gamma V^2
Aqui, r é o vetor posição no referencial original, e V é a velocidade relativa entre os referenciais.

Passo 4

Como queremos verificar para o caso em que V = V x, vamos substituir V por V x na expressão de r^+:
r^+ = rgamma - (1 - gamma) V x (V x cdot r)gamma V^2

Passo 5

Calculando o produto escalar x cdot r, que é simplesmente a componente x de r:
x cdot r = rx
Substituindo de volta na expressão de r^+:
r^+ = rgamma - (1 - gamma) V x cdot rxgamma V^2 = rgamma - (1 - gamma) rx xgamma V

Passo 6

Simplificando a expressão, percebemos que o termo dependente de rx está associado apenas à componente x do vetor:
r^+ = ( rxgamma - (1 - gamma) rxgamma ) x + rygamma y + rzgamma z
Simplificando ainda mais:
r^+ = ( rx - (1 - gamma) rxgamma ) x + rygamma y + rzgamma z = gamma rxgamma x + rygamma y + rzgamma z

Passo 7

Finalmente, simplificando a expressão obtida:
r^+ = rx x + rygamma y + rzgamma z
Isso mostra que, quando V = V x, a transformação r^+ ajusta as componentes y e z do vetor posição por um fator de 1/gamma, enquanto a componente x permanece inalterada, que é exatamente o resultado esperado.

Resposta

Quando V = V x, a transformação r^+ resulta em r^+ = (rx, rygamma, rzgamma), conforme esperado.

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