Verifique que a forma vetorial das transformações de Lorentz,
e , produz o resultado esperado quando . [Em relatividade é conveniente o uso da notação , pois se , obtém-se que ]

Passo 1

Então, vamos lá! O enunciado pede para verificar que as transformações de Lorentz na forma vetorial funcionam como esperado quando a velocidade está na direção do eixo . Isso se relaciona com a matéria de Relatividade Especial, especificamente sobre como as coordenadas espaciais e temporais se transformam entre diferentes referenciais em movimento relativo. Para resolver isso, vamos precisar entender as transformações de Lorentz vetoriais dadas e aplicar a condição .

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na expressão para , que é um fator importante nas transformações de Lorentz:
Esse fator leva em conta os efeitos relativísticos quando a velocidade se aproxima da velocidade da luz .

Passo 3

Agora, vamos entender a definição de fornecida:
Aqui, é o vetor posição no referencial original, e é a velocidade relativa entre os referenciais.

Passo 4

Como queremos verificar para o caso em que , vamos substituir por na expressão de :

Passo 5

Calculando o produto escalar , que é simplesmente a componente de :
Substituindo de volta na expressão de :

Passo 6

Simplificando a expressão, percebemos que o termo dependente de está associado apenas à componente do vetor:
Simplificando ainda mais:

Passo 7

Finalmente, simplificando a expressão obtida:
Isso mostra que, quando , a transformação ajusta as componentes e do vetor posição por um fator de , enquanto a componente permanece inalterada, que é exatamente o resultado esperado.

Resposta

Quando , a transformação resulta em , conforme esperado.

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