A partir dos planos π1 e π2 abaixo, calcule a medida angular entre os mesmos.
π1 : 2x + y - z + 3 = 0 π2 : x + y - 4 = 0
Assinale a alternativa correta.
Selecione uma alternativa:
a)10º
b)20º
c)26º
d)30º
e)60º
π1 : 2x + y - z + 3 = 0 π2 : x + y - 4 = 0
Assinale a alternativa correta.
Selecione uma alternativa:
a)10º
b)20º
c)26º
d)30º
e)60º
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria que pede pra encontrar o ângulo entre dois planos. Os planos são dados pelas equações:
- π₁: 2x + y - z + 3 = 0
- π₂: x + y - 4 = 0
Pra resolver isso, vamos precisar saber como calcular o ângulo entre dois planos usando as normais deles. As normais são vetores perpendiculares aos planos e são dadas pelos coeficientes de x, y e z nas equações dos planos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. Para o plano π₁, a equação é 2x + y - z + 3 = 0, então o vetor normal é n₁ = (2, 1, -1). Para o plano π₂, a equação é x + y - 4 = 0, então o vetor normal é n₂ = (1, 1, 0).
Passo 3
Agora, para encontrar o ângulo entre os dois planos, usamos a fórmula do ângulo entre dois vetores:
Onde:
-
é o produto escalar dos vetores normais. -
e são as normas (comprimentos) dos vetores normais.
Passo 4
Vamos calcular o produto escalar
:
Passo 5
Agora, calculamos as normas dos vetores:
Passo 6
Substituindo na fórmula do cosseno:
Podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por
:
Passo 7
Sabemos que
corresponde a um ângulo de 30°. Então, o ângulo entre os planos π₁ e π₂ é 30°.
Resposta
A medida angular entre os planos é 30º. Alternativa d).