A partir dos planos π1 e π2 abaixo, calcule a medida angular entre os mesmos.
π1 : 2x + y - z + 3 = 0 π2 : x + y - 4 = 0
Assinale a alternativa correta.
Selecione uma alternativa:
a)10º
b)20º
c)26º
d)30º
e)60º

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria que pede pra encontrar o ângulo entre dois planos. Os planos são dados pelas equações:
  • π₁: 2x + y - z + 3 = 0
  • π₂: x + y - 4 = 0
Pra resolver isso, vamos precisar saber como calcular o ângulo entre dois planos usando as normais deles. As normais são vetores perpendiculares aos planos e são dadas pelos coeficientes de x, y e z nas equações dos planos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. Para o plano π₁, a equação é 2x + y - z + 3 = 0, então o vetor normal é n₁ = (2, 1, -1). Para o plano π₂, a equação é x + y - 4 = 0, então o vetor normal é n₂ = (1, 1, 0).

Passo 3

Agora, para encontrar o ângulo entre os dois planos, usamos a fórmula do ângulo entre dois vetores:
cosθ = n1 cdot n2|n1| times |n2|
Onde:
  • n1 cdot n2 é o produto escalar dos vetores normais.
  • |n1| e |n2| são as normas (comprimentos) dos vetores normais.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar n1 cdot n2:
n1 cdot n2 = (2)(1) + (1)(1) + (-1)(0) = 2 + 1 + 0 = 3

Passo 5

Agora, calculamos as normas dos vetores:
|n1| = raiz2^2 + 1^2 + (-1)^2 = raiz4 + 1 + 1 = raiz6
|n2| = raiz1^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2

Passo 6

Substituindo na fórmula do cosseno:
cosθ = 3raiz6 times raiz2 = 3raiz12 = 32raiz3
Podemos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por raiz3:
cosθ = 3raiz32 times 3 = raiz32

Passo 7

Sabemos que cosθ = raiz32 corresponde a um ângulo de 30°. Então, o ângulo entre os planos π₁ e π₂ é 30°.

Resposta

A medida angular entre os planos é 30º. Alternativa d).

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