Parametrize as curvas abaixo de acordo com as instruções dadas e esboce seu gráfico:
com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação
e precisa parametrizar essa curva para
. O conteúdo que vamos usar aqui é geometria analítica, especificamente a parte de parametrização de curvas, e pra isso vamos precisar completar os quadrados para identificar a forma da curva.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação pra facilitar o entendimento. A equação dada é:
Vamos mover o 5 para o outro lado:
Passo 3
Agora, vamos completar os quadrados para
e
. Isso ajuda a identificar se a curva é um círculo, uma elipse, etc.
Para o termo de
:
Para o termo de
:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Passo 4
Agora que temos a equação na forma
, sabemos que é a equação de um círculo com centro
e raio
.
Aqui, o centro é
e o raio é
.
Passo 5
Para parametrizar o círculo, usamos funções trigonométricas. A parametrização padrão de um círculo com centro
e raio
é:
Onde
varia de
a
.
Resposta
A parametrização da curva é:
para
.
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e termina em
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, com
Faça o que se pede em cada item: Encontre
, tal que
, quando
Nos Problemas 1-24, verifique se a equação dada é exata. Se for, resolva.
24.
24.