Parametrize as curvas abaixo e faça um esboço das respectivas curvas.
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Passo 1
Beleza, então temos o enunciado: parametrizar a curva definida por
e fazer um esboço dela. Isso está relacionado com o estudo de curvas no plano, especificamente hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma parametrização e como aplicá-la a essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre parametrização. Parametrizar uma curva significa expressar as coordenadas
e
em função de uma terceira variável, geralmente chamada de parâmetro
. Isso facilita estudar as propriedades da curva, como seu movimento ou forma.
Passo 3
Observando a equação
, podemos reescrevê-la como
. Essa é a equação padrão de uma hipérbole com transição ao longo do eixo
.
Passo 4
Para parametrizar uma hipérbole da forma
, podemos usar funções hiperbólicas. Sabemos que as funções hiperbólicas satisfazem a identidade
, que se assemelha à nossa equação.
Passo 5
Assim, podemos definir o parâmetro
de forma que:
onde
é um número real que varia ao longo da curva.
Passo 6
Com essas definições, substituindo na equação original:
confirmamos que a parametrização está correta.
Passo 7
Para o esboço da curva, sabemos que uma hipérbole com essa equação tem duas ramos, simétricos em relação aos eixos. Cada ponto da curva pode ser obtido variando
de
a
, gerando os ramos correspondentes.
Resposta
A parametrização da curva
é dada por:
onde
.