Parametrize as curvas abaixo e faça um esboço das respectivas curvas.
x^2 = y^2 + 1;

Passo 1

Beleza, então temos o enunciado: parametrizar a curva definida por e fazer um esboço dela. Isso está relacionado com o estudo de curvas no plano, especificamente hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma parametrização e como aplicá-la a essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre parametrização. Parametrizar uma curva significa expressar as coordenadas e em função de uma terceira variável, geralmente chamada de parâmetro . Isso facilita estudar as propriedades da curva, como seu movimento ou forma.

Passo 3

Observando a equação , podemos reescrevê-la como . Essa é a equação padrão de uma hipérbole com transição ao longo do eixo .

Passo 4

Para parametrizar uma hipérbole da forma , podemos usar funções hiperbólicas. Sabemos que as funções hiperbólicas satisfazem a identidade , que se assemelha à nossa equação.

Passo 5

Assim, podemos definir o parâmetro de forma que:
onde é um número real que varia ao longo da curva.

Passo 6

Com essas definições, substituindo na equação original:
confirmamos que a parametrização está correta.

Passo 7

Para o esboço da curva, sabemos que uma hipérbole com essa equação tem duas ramos, simétricos em relação aos eixos. Cada ponto da curva pode ser obtido variando de a , gerando os ramos correspondentes.

Resposta

A parametrização da curva é dada por:
onde .

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