Uma parede é composta por duas camadas de condutividades diferentes k1=0,450 W / m^circ C e k 2=0,120 W / m^circ C. As espessuras são L1=8,52 cm e L2=12,21 cm Se as temperaturas nas faces externas das paredes valem T1=30,0^circ C e T2=-10,0^circ C, qual a temperatura na interface das camadas no regime estacionário de fluxo de calor?

Passo 1

Beleza, vamos entender a questão! Temos uma parede com duas camadas que têm condutividades térmicas diferentes. A primeira camada tem condutividade k1=0,450 W/m°C e espessura L1=8,52 cm. A segunda camada tem condutividade k2=0,120 W/m°C e espessura L2=12,21 cm. As temperaturas nas faces externas são T1=30,0^circ C e T2=-10,0^circ C. Nosso objetivo é descobrir qual é a temperatura na interface das duas camadas quando o fluxo de calor está constante (regime estacionário).
Para resolver isso, vamos usar a Lei de Fourier para condução de calor e considerar que o fluxo de calor é o mesmo em ambas as camadas no regime estacionário.

Passo 2

Primeiro, vamos converter as espessuras das camadas de centímetros para metros, já que as condutividades estão em W/m°C:
L1 = 8,52 , cm = 0,0852 , m
L2 = 12,21 , cm = 0,1221 , m

Passo 3

Agora, vamos lembrar da Lei de Fourier para condução de calor em uma dimensão:
q = k cdot (Tfria - Tquente)L
Onde:
  • q é a taxa de fluxo de calor (W/m²)
  • k é a condutividade térmica
  • Tquente e Tfria são as temperaturas nas extremidades da camada
  • L é a espessura da camada

Passo 4

Como estamos no regime estacionário, o fluxo de calor q é o mesmo nas duas camadas. Vamos chamar a temperatura na interface de Ti. Assim, temos:
Para a primeira camada:
q = k1 cdot (T1 - Ti)L1
Para a segunda camada:
q = k2 cdot (Ti - T2)L2

Passo 5

Como os fluxos são iguais, podemos igualar as duas expressões:
k1 cdot (T1 - Ti)L1 = k2 cdot (Ti - T2)L2
Vamos substituir os valores que temos:
0,450 cdot (30,0 - Ti)0,0852 = 0,120 cdot (Ti - (-10,0))0,1221

Passo 6

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar Ti.
Primeiro, simplificamos os termos:
0,450 cdot (30,0 - Ti)0,0852 = 0,120 cdot (Ti + 10,0)0,1221
Multiplicando ambos os lados para eliminar os denominadores:
0,450 cdot (30,0 - Ti) cdot 0,1221 = 0,120 cdot (Ti + 10,0) cdot 0,0852
Calculando os produtos:
0,054945 cdot (30,0 - Ti) = 0,010224 cdot (Ti + 10,0)
Distribuindo:
1,64835 - 0,054945 Ti = 0,010224 Ti + 0,10224
Juntando os termos com Ti de um lado e os constantes do outro:
1,64835 - 0,10224 = 0,054945 Ti + 0,010224 Ti
1,54611 = 0,065169 Ti
Finalmente, isolando Ti:
Ti = 1,546110,065169 approx 23,75^circ C

Resposta

A temperatura na interface das camadas é aproximadamente 23,75^circ C.

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