Um trem que está se movendo com velocidade constante de 60 km / h segue na direção leste por 40 min . Na sequência, mantendo a mesma velocidade, o trem segue na direção nordeste fazendo um ângulo de 60^circ com a direção norte por 20 min . Por fim, segue na direção oeste por mais 50 min , mas agora com a velocidade de 40 km / h. Determine o vetor velocidade média do trem durante essa viagem.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cinemática vetorial, que envolve calcular a velocidade média de um trem que se move em diferentes direções e velocidades ao longo de uma viagem. Para isso, vamos precisar usar conceitos de vetores de deslocamento, soma vetorial e calcular o tempo total da viagem.

Passo 2

Primeiro, vamos converter os tempos de cada trecho da viagem de minutos para horas, já que as velocidades estão em quilômetros por hora (km/h).
  • Primeiro trecho: 40 minutos = 4060 = 23 horas
  • Segundo trecho: 20 minutos = 2060 = 13 horas
  • Terceiro trecho: 50 minutos = 5060 = 56 horas

Passo 3

Agora, vamos calcular o vetor deslocamento em cada trecho usando a fórmula:
Deslocamento = Velocidade times Tempo times Direção çã

a) Primeiro trecho: Direção Leste

A direção leste corresponde ao eixo positivo x. Portanto:
d1 = 60 , km/h times 23 , h times i = 40 , i , km

b) Segundo trecho: Direção Nordeste

A direção nordeste faz um ângulo de 60^circ com a direção norte (eixo y positivo). Vamos decompor esse vetor:
d2 = 60 , km/h times 13 , h times (sin 60^circ , i + cos 60^circ , j)
Calculando:
d2 = 20 , (raiz32 , i + 12 , j) = 10raiz3 , i + 10 , j , km

c) Terceiro trecho: Direção Oeste

A direção oeste corresponde ao eixo negativo x. A velocidade agora é de 40 km/h.
d3 = 40 , km/h times 56 , h times (-i) = -2006 , i approx -33.33 , i , km

Passo 4

Vamos somar os vetores deslocamento de cada trecho para obter o deslocamento total:
D = d1 + d2 + d3 = 40 , i + (10raiz3 , i + 10 , j) + (-33.33 , i)
Somando as componentes:
Dx = 40 + 10raiz3 - 33.33 approx 40 + 17.32 - 33.33 = 23.99 , km
Dy = 10 , km
Então,
D approx 23.99 , i + 10 , j , km

Passo 5

Calculamos o tempo total da viagem somando os tempos de cada trecho:
ttotal = 23 + 13 + 56 = 2 + 1 + 56 = 86 = 43 , horas approx 1.333 , h

Passo 6

Agora, a velocidade média é o deslocamento total dividido pelo tempo total:
vmédia = Dttotal approx 23.99 , i + 10 , j1.333 é
Calculando:
vmédia approx 18 , i + 7.5 , j , km/h é

Resposta

A velocidade média do trem durante a viagem é aproximadamente vmédia = 18 , i + 7.5 , jé km/h, ou seja, 18 km/h para o leste e 7.5 km/h para o norte.

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