Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(d) Se
for um vetor nâo nulc em
, então a fórmula
define um operador linear de
.
(d) Se
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta. A matéria envolvida aqui é a de operadores lineares em álgebra linear. Precisaremos saber o que define um operador linear para resolver esse exercício.
Passo 2
Um operador linear é uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro (ou o mesmo) espaço vetorial, e que satisfaz duas propriedades principais:
- Aditividade: Para quaisquer vetores
e , . - Homogeneidade: Para qualquer escalar
, .
Além disso, um operador linear deve enviar o vetor zero para o vetor zero, ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada:
, onde
é um vetor não nulo em
. Precisamos verificar se essa função satisfaz as duas propriedades de um operador linear.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a aditividade:
Por outro lado:
Claramente, a não ser que
, essas duas expressões não são iguais. Portanto, a propriedade de aditividade não é satisfeita.
Passo 5
Mesmo que a aditividade falhe, podemos também verificar o que acontece com a propriedade de enviar o vetor zero para o zero:
Como
é um vetor não nulo, isso significa que
. Portanto, a função não satisfaz a condição necessária para ser um operador linear.
Resposta
A afirmação é falsa porque a função
não satisfaz as propriedades de um operador linear, especificamente a aditividade e a condição de que o vetor zero é mapeado para o vetor zero.