Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(d) Se v0 for um vetor nâo nulc em V, então a fórmula T(v)=v0+v define um operador linear de V.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta. A matéria envolvida aqui é a de operadores lineares em álgebra linear. Precisaremos saber o que define um operador linear para resolver esse exercício.

Passo 2

Um operador linear é uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro (ou o mesmo) espaço vetorial, e que satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: Para quaisquer vetores u e v, T(u + v) = T(u) + T(v).
  2. Homogeneidade: Para qualquer escalar c, T(cv) = cT(v).
Além disso, um operador linear deve enviar o vetor zero para o vetor zero, ou seja, T(0) = 0.

Passo 3

Agora, vamos analisar a função dada: T(v) = v0 + v, onde v0 é um vetor não nulo em V. Precisamos verificar se essa função satisfaz as duas propriedades de um operador linear.

Passo 4

Primeiro, vamos verificar a aditividade:
T(u + v) = v0 + (u + v) = (v0 + u) + v
Por outro lado:
T(u) + T(v) = (v0 + u) + (v0 + v) = 2v0 + u + v
Claramente, a não ser que v0 = 0, essas duas expressões não são iguais. Portanto, a propriedade de aditividade não é satisfeita.

Passo 5

Mesmo que a aditividade falhe, podemos também verificar o que acontece com a propriedade de enviar o vetor zero para o zero:
T(0) = v0 + 0 = v0
Como v0 é um vetor não nulo, isso significa que T(0) neq 0. Portanto, a função não satisfaz a condição necessária para ser um operador linear.

Resposta

A afirmação é falsa porque a função T(v) = v0 + v não satisfaz as propriedades de um operador linear, especificamente a aditividade e a condição de que o vetor zero é mapeado para o vetor zero.

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