Nas partes (a)-(i), determine se a afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
(d) Se for um vetor nâo nulc em , então a fórmula define um operador linear de .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que verificar se a afirmação é verdadeira ou falsa e justificar a resposta. A matéria envolvida aqui é a de operadores lineares em álgebra linear. Precisaremos saber o que define um operador linear para resolver esse exercício.
Passo 2
Um operador linear é uma função que mapeia vetores de um espaço vetorial para outro (ou o mesmo) espaço vetorial, e que satisfaz duas propriedades principais:
Aditividade: Para quaisquer vetores e , .
Homogeneidade: Para qualquer escalar , .
Além disso, um operador linear deve enviar o vetor zero para o vetor zero, ou seja, .
Passo 3
Agora, vamos analisar a função dada: , onde é um vetor não nulo em . Precisamos verificar se essa função satisfaz as duas propriedades de um operador linear.
Passo 4
Primeiro, vamos verificar a aditividade:
Por outro lado:
Claramente, a não ser que , essas duas expressões não são iguais. Portanto, a propriedade de aditividade não é satisfeita.
Passo 5
Mesmo que a aditividade falhe, podemos também verificar o que acontece com a propriedade de enviar o vetor zero para o zero:
Como é um vetor não nulo, isso significa que . Portanto, a função não satisfaz a condição necessária para ser um operador linear.
Resposta
A afirmação é falsa porque a função não satisfaz as propriedades de um operador linear, especificamente a aditividade e a condição de que o vetor zero é mapeado para o vetor zero.