Resolva os sistemas:
(e) lx+y+z+w=3 2 x-y+3 z+5 w=0 3 x+6 y+2 z=15 Resp.: (-4 x / 3-2 w+1, z / 3+w+2, z, w) ; z, w in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado apresenta um sistema de equações lineares com quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo é encontrar todos os conjuntos de valores que satisfazem as três equações simultaneamente. Para resolver isso, vamos usar métodos de resolução de sistemas lineares, como a substituição e a eliminação.

Passo 2

Observando que temos três equações e quatro variáveis, percebemos que teremos duas variáveis livres. Vamos escolher e como variáveis livres, ou seja, elas podem assumir qualquer valor real. Assim, nosso objetivo será expressar e em termos de e .

Passo 3

Vamos reescrever o sistema para facilitar a resolução:
x + y + z + w = 3 (1) 2x - y + 3z + 5w = 0 (2) 3x + 6y + 2z = 15 (3)
Primeiro, isolamos x + y = 3 - z - w (4) da equação (1):

Passo 4

Agora, vamos utilizar a equação (4) para substituir 2x - y + 3z + 5w = 0 na equação (2):
2(3 - z - w - y) - y + 3z + 5w = 0
Sabemos que 6 - 2z - 2w - 2y - y + 3z + 5w = 0 6 + z + 3w - 3y = 0 z + 3w - 3y = -6 y = z + 3w + 63 y = z3 + w + 2 (da equação 4), então substituímos:
Simplificando:

Passo 5

Agora que temos x + (z3 + w + 2) = 3 - z - w x = 3 - z - w - z3 - w - 2 x = 1 - 4z3 - 2w x = -43z - 2w + 1 em termos de e , vamos substituir esse valor na equação (4) para encontrar :

Resposta

A solução geral do sistema é:
( -43z - 2w + 1, z3 + w + 2, z, w ) ; z, w in R

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