Supondo que u, v, w seja um conjunto linearmente independe (L.I.) em R^3. Para quais valores de k o conjunto 2 u-nu, v-w, u+k v+w é L.I.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores u, v, w que é linearmente independente em R^3. Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. A gente precisa descobrir para quais valores de k o novo conjunto de vetores 2 u - w, v - w, u + k v + w também é linearmente independente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores a, b, c é linearmente independente se a única solução para a equação c1a + c2b + c3c = 0 é c1 = c2 = c3 = 0. Ou seja, não existe combinação dos vetores que resulte no vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero.

Passo 3

Vamos aplicar isso ao nosso novo conjunto de vetores. Queremos que a única solução para a combinação linear
alpha(2 u - w) + beta(v - w) + gamma(u + k v + w) = 0
seja alpha = beta = gamma = 0. Vamos expandir essa expressão:
2alpha u - alpha w + beta v - beta w + gamma u + gamma k v + gamma w = 0

Passo 4

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(2alpha + gamma)u + (beta + gamma k)v + (-alpha - beta + gamma)w = 0
Como u, v, w é um conjunto linearmente independente, isso significa que os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero:
  1. 2alpha + gamma = 0
  2. beta + gamma k = 0
  3. -alpha - beta + gamma = 0

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações lineares:
2alpha + gamma = 0 beta + kgamma = 0 -alpha - beta + gamma = 0
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de k para os quais a única solução é alpha = beta = gamma = 0.

Passo 6

Começamos da primeira equação:
2alpha + gamma = 0 Rightarrow gamma = -2alpha
Substituímos gamma na segunda equação:
beta + k(-2alpha) = 0 Rightarrow beta = 2kalpha
Agora, substituímos gamma e beta na terceira equação:
-alpha - (2kalpha) + (-2alpha) = 0 Rightarrow -alpha - 2kalpha - 2alpha = 0
Simplificando:
- (1 + 2k + 2)alpha = 0 Rightarrow -(3 + 2k)alpha = 0

Passo 7

Para que a única solução seja alpha = 0, o coeficiente que multiplica alpha deve ser diferente de zero. Assim:
3 + 2k neq 0 Rightarrow k neq -32

Resposta

O conjunto 2 u - w, v - w, u + k v + w é linearmente independente para todo valor de k exceto k = -dfrac32.

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