Supondo que seja um conjunto linearmente independe (L.I.) em . Para quais valores de conjunto é L.I.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um conjunto de vetores que é linearmente independente em . Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. A gente precisa descobrir para quais valores de o novo conjunto de vetores também é linearmente independente. Para resolver isso, vamos usar conceitos de combinação linear e sistemas de equações.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um conjunto de vetores ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a equação é . Ou seja, não existe combinação dos vetores que resulte no vetor zero, a não ser que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 3
Vamos aplicar isso ao nosso novo conjunto de vetores. Queremos que a única solução para a combinação linear
seja . Vamos expandir essa expressão:
Passo 4
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Como é um conjunto linearmente independente, isso significa que os coeficientes de cada vetor devem ser iguais a zero:
Passo 5
Agora, temos um sistema de equações lineares:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de k para os quais a única solução é alpha = beta = gamma = 0.
Passo 6
Começamos da primeira equação:
2alpha + gamma = 0 Rightarrow gamma = -2alpha
Substituímos gamma na segunda equação:
beta + k(-2alpha) = 0 Rightarrow beta = 2kalpha
Agora, substituímos gamma e beta na terceira equação: