Transformar as equações cartesianas para polares:
d) x^2 + y^2 + 3y = 0

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação e precisa transformar isso das coordenadas cartesianas para as polares. Pra fazer essa transformação, vamos precisar usar as fórmulas que conectam as coordenadas x e y com r e theta.

Passo 2

Nas coordenadas polares, a gente sabe que:
E também que:

Passo 3

Vamos substituir essas expressões na equação original:
Substituindo:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação:
Podemos fatorar r:
Isso nos dá duas possibilidades: ou , que é a origem, ou .

Resposta

A equação na coordenada polar é:

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l partial^2 upartial t^2+partialpartial t=partial^2 upartial x^2, 00 u(0, t)=u(L, t)=0, t>0 u(x, 0)=sen(x), partial u(x, 0)partial t=0, 0
Uma vez que kappa=0.5 e L=pi, temos n>kappa L / pi para todo n.
Transformar as equações cartesianas para polares:
b) xy = 5
r partial Tpartial t=partial^2 Tpartial x^2, 00 partial T(0, t)partial x=-T(x, 0), t>0 partial T(1, t)partial x=-T(1,0), t>0 T(x, 0)=f(x), 0
(b) Mostre que
T(x, t)=sumn=1^infty cn Yn(t) Xn(x)
em que
cn=1kappan integral0^1 f(x) Xn(x) d x kappan=integral0^1 Xn^2(x) d x
partial Tpartial t=alpha(partial^2 Tpartial x^2+partial^2 Tpartial y^2), 00
em uma placa retangular unitária. Assuma condições de contorno homogênea, T=0, e alpha=1. A distribuição de temperatura inicial em t=0 e dada por f(x, y)=x(1-x) y(1-y). Apresente gráficos com a evolução da temperatura na placa para diferentes instantes de tempo: t=0,2,4,6,8, e 10.