r partial Tpartial t=partial^2 Tpartial x^2, 00 partial T(0, t)partial x=-T(x, 0), t>0 partial T(1, t)partial x=-T(1,0), t>0 T(x, 0)=f(x), 0
(b) Mostre que
T(x, t)=sumn=1^infty cn Yn(t) Xn(x)
em que
cn=1kappan integral0^1 f(x) Xn(x) d x kappan=integral0^1 Xn^2(x) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial. Basicamente, ela descreve como a temperatura varia no espaço e no tempo. O enunciado pede pra mostrar que a solução pode ser escrita como uma soma infinita de funções que dependem só do tempo e do espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar separação de variáveis e séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução T(x, t) = Y(t) cdot X(x) pode ser escrita como o produto de duas funções: uma que depende só de , chamada , e outra que depende só de , chamada . Ou seja:
Essa é a ideia da separação de variáveis. A gente tenta separar a equação em partes que dependem apenas de uma variável.

Passo 3

Agora, vamos substituir essa forma na equação do calor:
partial Tpartial t = partial^2 Tpartial x^2
Substituindo dYdt cdot X(x) = Y(t) cdot d^2 Xdx^2 :
1Y(t) dYdt = 1X(x) d^2 Xdx^2 = -lambda
Agora, vamos organizar os termos:
A gente iguala cada lado a uma constante negativa porque as duas expressões dependem de variáveis diferentes e precisam ser iguais para todo e .

Passo 4

Temos agora duas equações ordinárias:
  1. Para dYdt + lambda Y = 0 :
Y(t) = Y0 e^-lambda t
A solução dessa equação é:
d^2 Xdx^2 + lambda X = 0
  1. Para :
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções trigonométricas quando .

Passo 5

Vamos resolver a equação de dTdxg|x=0 = -T(0, t) e dTdxg|x=1 = -T(1, t) junto com as condições de contorno. As condições de contorno são:
dXdxg|x=0 = -X(0) e dXdxg|x=1 = -X(1)
Substituindo :
Essas são condições de contorno do tipo Neumann modificadas, que vão nos ajudar a determinar os valores de e as funções .

Passo 6

Resolvendo a equação para com as condições de contorno, encontramos que os valores próprios são dados por para inteiro positivo, e as funções próprias são funções trigonométricas como senos ou cossenos que satisfazem as condições de contorno.

Passo 7

Com as funções próprias T(x, t) = sumn=1^infty cn e^-lambdan t Xn(x) , a solução geral para pode ser escrita como uma soma infinita de termos envolvendo essas funções e as soluções de :

Passo 8

Agora, vamos determinar os coeficientes f(x) = sumn=1^infty cn Xn(x) . Para isso, usamos a condição inicial integral0^1 f(x) Xm(x) dx = cm integral0^1 Xm^2(x) dx = cm kappam :
cm = 1kappam integral0^1 f(x) Xm(x) dx
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados pela função própria e integramos de 0 a 1:
Assim, isolando :
Onde .

Passo 9

Finalmente, juntando tudo, temos a expressão da solução T(x, t) = sumn=1^infty cn Yn(t) Xn(x) como uma série infinita:
cn = 1kappan integral0^1 f(x) Xn(x) dx e kappan = integral0^1 Xn^2(x) dx
Onde:

Resposta

Assim, mostramos que a solução da equação do calor dada pode ser expressa como:
T(x, t) = sumn=1^infty cn Yn(t) Xn(x)
com os coeficientes:
cn = 1kappan integral0^1 f(x) Xn(x) dx e kappan = integral0^1 Xn^2(x) dx

Exercícios relacionados

Transformar as equações cartesianas para polares:
d) x^2 + y^2 + 3y = 0
l partial^2 upartial t^2+partialpartial t=partial^2 upartial x^2, 00 u(0, t)=u(L, t)=0, t>0 u(x, 0)=sen(x), partial u(x, 0)partial t=0, 0
Uma vez que kappa=0.5 e L=pi, temos n>kappa L / pi para todo n.
partial Tpartial t=alpha(partial^2 Tpartial x^2+partial^2 Tpartial y^2), 00
em uma placa retangular unitária. Assuma condições de contorno homogênea, T=0, e alpha=1. A distribuição de temperatura inicial em t=0 e dada por f(x, y)=x(1-x) y(1-y). Apresente gráficos com a evolução da temperatura na placa para diferentes instantes de tempo: t=0,2,4,6,8, e 10.
partial^2 upartial t^2=c^2(partial^2 upartial x^2+1r partial^2 upartial r^2++1r^2 partial^2 upartial theta^2), 00
com as seguintes condições de contorno e inicial
& u(a, theta, t)=0, t>0, & u(r, theta, 0)=f(r, theta), partial u(r, theta, 0)partial t=g(r, theta), 0
Note que theta é um ângulo polar, (r, theta) e (r, theta+2 pi) representa o mesmo ponto, e portanto u(r, theta, t)= (r, theta+2 pi, t). Em outras palavras, u tem período 2 pi em theta.