Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre a equação do calor, que é uma equação diferencial parcial. Basicamente, ela descreve como a temperatura varia no espaço e no tempo. O enunciado pede pra mostrar que a solução pode ser escrita como uma soma infinita de funções que dependem só do tempo e do espaço. Para resolver isso, vamos precisar usar separação de variáveis e séries de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como o produto de duas funções: uma que depende só de , chamada , e outra que depende só de , chamada . Ou seja:
Essa é a ideia da separação de variáveis. A gente tenta separar a equação em partes que dependem apenas de uma variável.
Passo 3
Agora, vamos substituir essa forma na equação do calor:
Substituindo :
Agora, vamos organizar os termos:
A gente iguala cada lado a uma constante negativa porque as duas expressões dependem de variáveis diferentes e precisam ser iguais para todo e .
Passo 4
Temos agora duas equações ordinárias:
Para :
A solução dessa equação é:
Para :
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com soluções trigonométricas quando .
Passo 5
Vamos resolver a equação de junto com as condições de contorno. As condições de contorno são:
Substituindo :
Essas são condições de contorno do tipo Neumann modificadas, que vão nos ajudar a determinar os valores de e as funções .
Passo 6
Resolvendo a equação para com as condições de contorno, encontramos que os valores próprios são dados por para inteiro positivo, e as funções próprias são funções trigonométricas como senos ou cossenos que satisfazem as condições de contorno.
Passo 7
Com as funções próprias T(x, t) = sumn=1^infty cn e^-lambdan t Xn(x) , a solução geral para pode ser escrita como uma soma infinita de termos envolvendo essas funções e as soluções de :
Passo 8
Agora, vamos determinar os coeficientes f(x) = sumn=1^infty cn Xn(x) . Para isso, usamos a condição inicial integral0^1 f(x) Xm(x) dx = cm integral0^1 Xm^2(x) dx = cm kappam :
cm = 1kappam integral0^1 f(x) Xm(x) dx
Para encontrar , multiplicamos ambos os lados pela função própria e integramos de 0 a 1:
Assim, isolando :
Onde .
Passo 9
Finalmente, juntando tudo, temos a expressão da solução T(x, t) = sumn=1^infty cn Yn(t) Xn(x) como uma série infinita: