Uma vez que kappa=0.5 e L=pi, temos n>kappa L / pi para todo n.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. Estamos lidando com uma equação diferencial parcial (EDP) que mistura derivadas de segunda ordem em relação ao tempo e derivadas de primeira e segunda ordem em relação ao espaço . O conteúdo principal aqui envolve métodos para resolver EDPs usando separação de variáveis e séries de Fourier. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como separar as variáveis, encontrar as soluções particulares e aplicar as condições de contorno e iniciais.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar separar as variáveis. A ideia é supor que a solução u(x, t) = X(x) cdot T(t) pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Essa técnica facilita a resolução porque transforma a EDP em equações ordinárias para e .
Passo 3
Agora, substituímos partial^2 upartial t^2 + partial upartial t = partial^2 upartial x^2 na equação original:
A solução dessa equação diferencial homogênea de segunda ordem depende das raízes características da equação auxiliar . As raízes são:
Dependendo do discriminante , teremos diferentes tipos de soluções (reais ou complexas). Como e , isso assegura que é grande o suficiente para que , resultando em soluções oscilatórias amortecidas.
Assim, a solução geral para é:
onde e são constantes a serem determinadas.
Passo 6
Finalmente, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes u(x, 0) = sin(x) e partial upartial t(x, 0) = 0 e u(x, t) = e^-12t sin(x) . As condições são:
Explicando, nos dá que a série de Fourier deve coincidir com , o que implica que apenas o primeiro modo () está ativo inicialmente. Já a condição de velocidade inicial zero implica que para todos os .
Assim, a solução simplificada é:
Resposta
A solução da equação dada com as condições fornecidas é: