l partial^2 upartial t^2+partialpartial t=partial^2 upartial x^2, 00 u(0, t)=u(L, t)=0, t>0 u(x, 0)=sen(x), partial u(x, 0)partial t=0, 0
Uma vez que kappa=0.5 e L=pi, temos n>kappa L / pi para todo n.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que temos aqui. Estamos lidando com uma equação diferencial parcial (EDP) que mistura derivadas de segunda ordem em relação ao tempo e derivadas de primeira e segunda ordem em relação ao espaço . O conteúdo principal aqui envolve métodos para resolver EDPs usando separação de variáveis e séries de Fourier. Para resolver isso, a gente vai precisar entender como separar as variáveis, encontrar as soluções particulares e aplicar as condições de contorno e iniciais.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar separar as variáveis. A ideia é supor que a solução u(x, t) = X(x) cdot T(t) pode ser escrita como um produto de duas funções, uma que depende só de e outra que depende só de :
Essa técnica facilita a resolução porque transforma a EDP em equações ordinárias para e .

Passo 3

Agora, substituímos partial^2 upartial t^2 + partial upartial t = partial^2 upartial x^2 na equação original:
X(x) cdot T''(t) + X(x) cdot T'(t) = X''(x) cdot T(t)
Calculando as derivadas:
T''(t) + T'(t)T(t) = X''(x)X(x) = -lambda
Dividindo os dois lados por :
Aqui, é uma constante de separação.

Passo 4

Vamos resolver as equações separadas. Primeiro, para X''(x) + lambda X(x) = 0 :
Xn(x) = sin(npi xL), lambdan = (npiL)^2
Com as condições de contorno . As soluções são senos de múltiplos inteiros do modo natural:
onde é um número inteiro positivo.

Passo 5

Agora, para a equação em T''(t) + T'(t) + lambdan T(t) = 0 :
T''(t) + T'(t) + (npiL)^2 T(t) = 0
Substituindo r = -1 pm raiz1 - 4lambdan2 :
Tn(t) = e^-12t ( An cos(omegan t) + Bn sin(omegan t) )
A solução dessa equação diferencial homogênea de segunda ordem depende das raízes características da equação auxiliar . As raízes são:
Dependendo do discriminante , teremos diferentes tipos de soluções (reais ou complexas). Como e , isso assegura que é grande o suficiente para que , resultando em soluções oscilatórias amortecidas.
Assim, a solução geral para é:
onde e são constantes a serem determinadas.

Passo 6

Finalmente, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes u(x, 0) = sin(x) e partial upartial t(x, 0) = 0 e u(x, t) = e^-12t sin(x) . As condições são:
Explicando, nos dá que a série de Fourier deve coincidir com , o que implica que apenas o primeiro modo ( ) está ativo inicialmente. Já a condição de velocidade inicial zero implica que para todos os .
Assim, a solução simplificada é:

Resposta

A solução da equação dada com as condições fornecidas é:
u(x, t) = e^-12t sin(x)

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Transformar as equações cartesianas para polares:
b) xy = 5
Traçar o gráfico das seguintes equações polares:
a) r = -8 sen(2 θ)
Transformar as equações cartesianas para polares:
d) x^2 + y^2 + 3y = 0
r partial Tpartial t=partial^2 Tpartial x^2, 00 partial T(0, t)partial x=-T(x, 0), t>0 partial T(1, t)partial x=-T(1,0), t>0 T(x, 0)=f(x), 0
(b) Mostre que
T(x, t)=sumn=1^infty cn Yn(t) Xn(x)
em que
cn=1kappan integral0^1 f(x) Xn(x) d x kappan=integral0^1 Xn^2(x) d x