Para uma partícula com aceleração 3 m/s2 em uma trajetória curva de raio R = 24 m, que no instante t = 0 possui velocidade igual a 6 m/s, determine a aceleração centrípeta para o tempo t = 2 s.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo: temos uma partícula que está se movendo em uma trajetória curva com raio $ R = 24 , m $. Ela possui uma aceleração total de $ 3 , m/s^2 $ e, no instante inicial ($ t = 0 $), sua velocidade é de $ 6 , m/s $. Nosso objetivo é descobrir qual será a aceleração centrípeta dessa partícula no tempo $ t = 2 , s $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento curvilíneo, especificamente aceleração centrípeta e aceleração tangencial.

Passo 2

Primeiro, é importante saber que em um movimento curvilíneo, a aceleração total ($ a_{total} $) da partícula é composta por duas partes:
  1. Aceleração Centrífuga ($ a_c $): Responsável por manter a partícula na trajetória curva, apontando sempre para o centro da curva.
  2. Aceleração Tangencial ($ a_t $): Relacionada à variação da velocidade da partícula ao longo do tempo, na direção da trajetória.
A relação entre essas acelerações é dada pela fórmula:
atotal

Passo 3

Sabemos que a aceleração total é $ 3 , m/s^2 $, então podemos escrever:
3 , m/s^2
O próximo passo é expressar $ a_c $ e $ a_t $ em termos das informações que temos.

Passo 4

A aceleração centrípeta ($ a_c $) é calculada pela fórmula:
ac
Onde:
  • $ v $ é a velocidade da partícula no instante considerado.
  • $ R $ é o raio da trajetória.
A aceleração tangencial ($ a_t $) está relacionada à variação da velocidade com o tempo:
ac = v^2R

Passo 5

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula no tempo $ t = 2 , s t = 2 , s t = 0 $) a velocidade é $ 6 , m/s $ e que a aceleração total é $ 3 , m/s^2 $. Porém, como a aceleração total é composta por $ a_c $ e $ a_t $, precisamos separar essas componentes.

Passo 6

Rearranjando a equação da aceleração total para encontrar $ a_t $:
at
Mas sabemos que $ a_c = \frac{v^2}{R} $, então:
3 = raizac^2 + at^2 Rightarrow 3^2 = ac^2 + at^2 Rightarrow 9 = ac^2 + at^2
Precisa-se expressar $ v $ em função de $ a_t $.

Passo 7

A velocidade no tempo $ t = 2 , s $ pode ser encontrada usando:
t = 2 , s
Substituindo os valores:
v(t) = v0 + at cdot t

Passo 8

Agora, substituindo $ v(2) $ na fórmula da aceleração centrípeta:
v(2)
Vamos substituir isso de volta na equação da aceleração total:
ac = (6 + 2at)^224

Passo 9

Simplificando a equação:
9 = (6 + 2at)^424^2 + at^2
Para facilitar os cálculos, vamos resolver numericamente:
  1. Expanda $ (6 + 2a_t)^2 $:
(6 + 2at)^2
  1. Substitua na equação:
(6 + 2at)^2 = 36 + 24at + 4at^2
  1. Resolva a equação quadrática resultante para $ a_t $.
Após resolver a equação, obtemos:
9 = 36 + 24at + 4at^224^2 + at^2

Passo 10

Com $ a_t \approx 2.95 , m/s^2 $, calculamos a velocidade no tempo $ t = 2 , s $:
at approx 2.95 , m/s^2

Passo 11

Agora, calculamos a aceleração centrípeta com $ v = 11.9 , m/s $ e $ R = 24 , m $:
v = 11.9 , m/s

Resposta

A aceleração centrípeta no tempo $ t = 2 , s $ é aproximadamente $ \boxed{5.9 , m/s^2} $.

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