Para uma partícula com aceleração 3 m/s2 em uma trajetória curva de raio R = 24 m, que no instante t = 0 possui velocidade igual a 6 m/s, determine a aceleração centrípeta para o tempo t = 2 s.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo: temos uma partícula que está se movendo em uma trajetória curva com raio $ R = 24 , m $. Ela possui uma aceleração total de $ 3 , m/s^2 $ e, no instante inicial ($ t = 0 $), sua velocidade é de $ 6 , m/s $. Nosso objetivo é descobrir qual será a aceleração centrípeta dessa partícula no tempo $ t = 2 , s $. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de movimento curvilíneo, especificamente aceleração centrípeta e aceleração tangencial.
Passo 2
Primeiro, é importante saber que em um movimento curvilíneo, a aceleração total ($ a_{total} $) da partícula é composta por duas partes:
- Aceleração Centrífuga ($ a_c $): Responsável por manter a partícula na trajetória curva, apontando sempre para o centro da curva.
- Aceleração Tangencial ($ a_t $): Relacionada à variação da velocidade da partícula ao longo do tempo, na direção da trajetória.
A relação entre essas acelerações é dada pela fórmula:
Passo 3
Sabemos que a aceleração total é $ 3 , m/s^2 $, então podemos escrever:
O próximo passo é expressar $ a_c $ e $ a_t $ em termos das informações que temos.
Passo 4
A aceleração centrípeta ($ a_c $) é calculada pela fórmula:
Onde:
- $ v $ é a velocidade da partícula no instante considerado.
- $ R $ é o raio da trajetória.
A aceleração tangencial ($ a_t $) está relacionada à variação da velocidade com o tempo:
Passo 5
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula no tempo $ t = 2 , s
t = 0 $) a velocidade é $ 6 , m/s $ e que a aceleração total é $ 3 , m/s^2 $. Porém, como a aceleração total é composta por $ a_c $ e $ a_t $, precisamos separar essas componentes.
Passo 6
Rearranjando a equação da aceleração total para encontrar $ a_t $:
Mas sabemos que $ a_c = \frac{v^2}{R} $, então:
Precisa-se expressar $ v $ em função de $ a_t $.
Passo 7
A velocidade no tempo $ t = 2 , s $ pode ser encontrada usando:
Substituindo os valores:
Passo 8
Agora, substituindo $ v(2) $ na fórmula da aceleração centrípeta:
Vamos substituir isso de volta na equação da aceleração total:
Passo 9
Simplificando a equação:
Para facilitar os cálculos, vamos resolver numericamente:
- Expanda $ (6 + 2a_t)^2 $:
- Substitua na equação:
- Resolva a equação quadrática resultante para $ a_t $.
Após resolver a equação, obtemos:
Passo 10
Com $ a_t \approx 2.95 , m/s^2 $, calculamos a velocidade no tempo $ t = 2 , s $:
Passo 11
Agora, calculamos a aceleração centrípeta com $ v = 11.9 , m/s $ e $ R = 24 , m $:
Resposta
A aceleração centrípeta no tempo $ t = 2 , s $ é aproximadamente $ \boxed{5.9 , m/s^2} $.