Uma partícula apresenta a seguinte relação entre a velocidade v e a posição x
v=-bx
Com base na relação acima calcule:
b) A relação da velocidade v em função do tempo t, sabendo que quando t foi igual a 0 s a velocidade inicial foi de 2 m / s

Passo 1

Vamos lá! A gente tem uma partícula cuja velocidade está relacionada à posição pela fórmula . Nosso objetivo é encontrar uma expressão para a velocidade em função do tempo , sabendo que quando segundos, a velocidade inicial foi de . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a relação entre velocidade, posição e tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que velocidade v = dxdt é a derivada da posição dxdt = -bx em relação ao tempo , ou seja:
Dado que , podemos escrever:
Agora, precisamos resolver essa equação diferencial para encontrar , e depois disso, podemos achar .

Passo 3

Vamos separar as variáveis x , dx = -b , dt e integral x , dx = integral -b , dt para facilitar a integração. Reorganizando a equação:
12x^2 = -b t + C
Agora, integramos ambos os lados:
A integral de é e a de é . Então:
onde é a constante de integração.

Passo 4

Para encontrar a constante 2 = -bx0 , usamos a condição inicial. Quando x0 = -b2 , a velocidade 12(-b2)^2 = C . Sabemos que 12 cdot b^24 = C , então:
C = b^28
onde é a posição inicial. Daí:
Agora, substituímos e na equação anterior:

Passo 5

Agora, temos:
12x^2 = -b t + b^28
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
x^2 = -2b t + b^24
Resolvendo para x = raiz-2b t + b^24 :
x = raizb(-2 t + b4) = raizb(b4 - 2 t)
Para facilitar, podemos fatorar :

Passo 6

Agora que temos v = -bx , vamos encontrar v(t) = -braizb(b4 - 2 t) = -braizb raizb4 - 2 t = -raizb cdot 1raizb4 - 2 t usando:
v(t) = -raizbb4 - 2 t = -raiz4bb - 8 t
Substituindo :
Simplificando:

Resposta

A relação da velocidade v(t) = -raiz4bb - 8 t em função do tempo é:

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Seja uma partícula realizando um movimento bidimensional dado pelo seguinte vetor posição
r=2 t^2 imath-t jmath
Sendo t o tempo. Calcule:
b) O vetor aceleração a da partícula
Seja uma partícula pontual descrevendo uma trajetória retilínea. A função que expressa a posição S dessa partícula em relação ao tempo t é dada por:
S(t)=10+2 t-0,1 t^2
Com base nessa relação calcule:
d) O valor da velocidade inicial v0 da partícula em m / s(t=0)
Seja uma partícula realizando um movimento bidimensional dado pelo seguinte vetor posição
r=2 t^2 imath-t jmath
Sendo t o tempo. Calcule:
d) Qual é o vetor posição inicial r0 e qual é o vetor velocidade inicial v0 para t=0 s
Seja uma partícula pontual descrevendo uma trajetória retilínea. A função que expressa a posição S dessa partícula em relação ao tempo t é dada por:
S(t)=10+2 t-0,1 t^2
Com base nessa relação calcule:
b) Expressão da aceleração a dessa partícula