Uma partícula de carga , massa e velocidade é lançada em uma região de campo uniforme. Se a velocidade é perpendicular ao campo a partícula descreverá uma órbita circular.
(a) se é a energia cinética da partícula, calcule ;
(b) justifique porque a órbita é circular;
© calcule: o raio do círculo ®, a frequência angular , a frequência linear ( ) e o período (T).
Resp: (a) ; (b)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma partícula com carga , massa e velocidade que está se movendo numa região onde tem um campo magnético uniforme . A velocidade está perpendicular ao campo, então a partícula vai descrever uma órbita circular. Vamos precisar usar conceitos de energia cinética, força magnética e movimento circular para resolver as partes (a), (b) e © desse problema.

Passo 2

Parte (a): Calcular
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética ( ) de uma partícula é dada por:
Para encontrar a derivada de em relação ao tempo ( ), vamos derivar essa expressão:
Agora, precisamos descobrir . Como a partícula está se movendo em uma trajetória circular devido à força magnética, a velocidade tem magnitude constante, apenas a direção está mudando. Isso significa que a aceleração centrípeta está presente, mas a velocidade escalar não está aumentando nem diminuindo.
Portanto, , e assim:

Passo 3

Parte (b): Justificar por que a órbita é circular
A força magnética que atua sobre a partícula é dada por:
Essa força é sempre perpendicular à direção da velocidade e não realiza trabalho sobre a partícula, pois é perpendicular a . Como a força está sempre perpendicular à velocidade e tem magnitude constante devido ao campo magnético uniforme, a partícula sofre aceleração centrípeta constante, o que resulta em uma trajetória circular.

Passo 4

Parte ©: Calcular o raio do círculo ( ), a frequência angular ( ), a frequência linear ( ) e o período ( )
Primeiro, igualamos a força magnética à força centrípeta:
Resolvendo para :
Agora, a frequência angular é relacionada à velocidade e ao raio por:
Substituindo da equação anterior:
A frequência linear já está definida, mas podemos relacionar com para verificar a coerência.
Finalmente, o período é o inverso da frequência angular multiplicado por :

Resposta

(a) ;
(b) Porque a força magnética é perpendicular à velocidade, mantendo a trajetória circular;
©

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