Uma partícula de carga q, massa m e velocidade v é lançada em uma região de campo B uniforme. Se a velocidade é perpendicular ao campo a partícula descreverá uma órbita circular.
(a) se Ec é a energia cinética da partícula, calcule d Ec / d t;
(b) justifique porque a órbita é circular;
© calcule: o raio do círculo ®, a frequência angular (omega), a frequência linear ( v ) e o período (T).
Resp: (a) d Ec / d t=0; (b) R=m v / q B ; omega=q B / m ; v=q B / 2 pi m ; T=2 pi m / q B

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma partícula com carga , massa e velocidade que está se movendo numa região onde tem um campo magnético uniforme . A velocidade está perpendicular ao campo, então a partícula vai descrever uma órbita circular. Vamos precisar usar conceitos de energia cinética, força magnética e movimento circular para resolver as partes (a), (b) e © desse problema.

Passo 2

Parte (a): Calcular Ec = 12 m v^2
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética ( dEcdt = ddt ( 12 m v^2 ) = m v dvdt ) de uma partícula é dada por:
dEcdt = m v times 0 = 0
Para encontrar a derivada de em relação ao tempo ( ), vamos derivar essa expressão:
Agora, precisamos descobrir . Como a partícula está se movendo em uma trajetória circular devido à força magnética, a velocidade tem magnitude constante, apenas a direção está mudando. Isso significa que a aceleração centrípeta está presente, mas a velocidade escalar não está aumentando nem diminuindo.
Portanto, , e assim:

Passo 3

Parte (b): Justificar por que a órbita é circular
A força magnética que atua sobre a partícula é dada por:
F = q v times B
Essa força é sempre perpendicular à direção da velocidade e não realiza trabalho sobre a partícula, pois é perpendicular a . Como a força está sempre perpendicular à velocidade e tem magnitude constante devido ao campo magnético uniforme, a partícula sofre aceleração centrípeta constante, o que resulta em uma trajetória circular.

Passo 4

Parte ©: Calcular o raio do círculo ( q v B = m v^2R ), a frequência angular ( R = m vq B ), a frequência linear ( omega = vR ) e o período ( omega = q Bm )
Primeiro, igualamos a força magnética à força centrípeta:
T = 2piomega = 2pi mq B
Resolvendo para :
Agora, a frequência angular é relacionada à velocidade e ao raio por:
Substituindo da equação anterior:
A frequência linear já está definida, mas podemos relacionar com para verificar a coerência.
Finalmente, o período é o inverso da frequência angular multiplicado por :

Resposta

(a) R = m vq B ;
(b) Porque a força magnética é perpendicular à velocidade, mantendo a trajetória circular;
©
omega = q Bm
v = q B2 pi m
T = 2 pi mq B

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