Uma partícula de carga
, massa
e velocidade
é lançada em uma região de campo
uniforme. Se a velocidade é perpendicular ao campo a partícula descreverá uma órbita circular.
(a) se
é a energia cinética da partícula, calcule
;
(b) justifique porque a órbita é circular;
© calcule: o raio do círculo ®, a frequência angular
, a frequência linear (
) e o período (T).
Resp: (a)
; (b)
(a) se
(b) justifique porque a órbita é circular;
© calcule: o raio do círculo ®, a frequência angular
Resp: (a)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem uma partícula com carga
, massa
e velocidade
que está se movendo numa região onde tem um campo magnético uniforme
. A velocidade está perpendicular ao campo, então a partícula vai descrever uma órbita circular. Vamos precisar usar conceitos de energia cinética, força magnética e movimento circular para resolver as partes (a), (b) e © desse problema.
Passo 2
Parte (a): Calcular
Primeiro, vamos lembrar que a energia cinética (
) de uma partícula é dada por:
Para encontrar a derivada de
em relação ao tempo (
), vamos derivar essa expressão:
Agora, precisamos descobrir
. Como a partícula está se movendo em uma trajetória circular devido à força magnética, a velocidade
tem magnitude constante, apenas a direção está mudando. Isso significa que a aceleração centrípeta está presente, mas a velocidade escalar
não está aumentando nem diminuindo.
Portanto,
, e assim:
Passo 3
Parte (b): Justificar por que a órbita é circular
A força magnética que atua sobre a partícula é dada por:
Essa força é sempre perpendicular à direção da velocidade
e não realiza trabalho sobre a partícula, pois
é perpendicular a
. Como a força está sempre perpendicular à velocidade e tem magnitude constante devido ao campo magnético uniforme, a partícula sofre aceleração centrípeta constante, o que resulta em uma trajetória circular.
Passo 4
Parte ©: Calcular o raio do círculo (
), a frequência angular (
), a frequência linear (
) e o período (
)
Primeiro, igualamos a força magnética à força centrípeta:
Resolvendo para
:
Agora, a frequência angular
é relacionada à velocidade e ao raio por:
Substituindo
da equação anterior:
A frequência linear
já está definida, mas podemos relacionar com
para verificar a coerência.
Finalmente, o período
é o inverso da frequência angular multiplicado por
:
Resposta
(a)
;
(b) Porque a força magnética é perpendicular à velocidade, mantendo a trajetória circular;
©
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