Uma partícula carregada viaja através do espaço, até que chega em uma região permeada por um campo magnético uniforme
, orientado perpendicularmente à velocidade da partícula. No capítulo anterior, você aprendeu que tal partícula sofre a ação de uma força magnética que impõe uma trajetória circular. Além disso, devido ao movimento circular, a partícula carregada também cria seu próprio campo magnético
.
Usando que a velocidade da luz é
, mostre que sua expressão poder ser escrita na forma:
Usando que a velocidade da luz é
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula carregada que está se movendo no espaço e entra numa região onde tem um campo magnético uniforme, chamado de
, que está perpendicular à velocidade da partícula. A matéria envolvida aqui é o eletromagnetismo, mais especificamente a força magnética que atua sobre partículas carregadas em movimento. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de força de Lorentz e algumas relações entre as constantes eletromagnéticas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a força magnética
que atua sobre uma partícula carregada é dada pela Lei de Lorentz:
Como a força é perpendicular à velocidade, ela faz a partícula seguir uma trajetória circular.
Passo 3
Sabemos que para um movimento circular, a força magnética fornece a força centrípeta necessária para manter a partícula na trajetória. A força centrípeta
é:
Onde:
-
é a massa da partícula, -
é a velocidade, -
é o raio da trajetória circular.
Passo 4
Igualando a força magnética à força centrípeta:
Aqui, cancelamos a velocidade
dos dois lados:
Passo 5
Agora, a velocidade da luz
é dada por:
Isso nos permite relacionar as constantes magnéticas e elétricas.
Passo 6
Vamos reorganizar a equação que obtivemos:
Nosso objetivo é expressar algo na forma:
Para isso, precisamos relacionar a velocidade
com as outras variáveis usando a expressão para
.
Passo 7
Vamos substituir
usando a definição dada:
Então,
Passo 8
Agora, voltando à expressão que queremos derivar, vamos reescrever
em termos de
:
Substituindo isso na expressão final desejada, obtemos:
Passo 9
Simplificando os termos:
Isso mostra a relação entre as variáveis e confirma a forma desejada da expressão.
Resposta
Assim, mostramos que a expressão pode ser escrita como: