Uma partícula carregada viaja através do espaço, até que chega em uma região permeada por um campo magnético uniforme , orientado perpendicularmente à velocidade da partícula. No capítulo anterior, você aprendeu que tal partícula sofre a ação de uma força magnética que impõe uma trajetória circular. Além disso, devido ao movimento circular, a partícula carregada também cria seu próprio campo magnético .
Usando que a velocidade da luz é , mostre que sua expressão poder ser escrita na forma:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula carregada que está se movendo no espaço e entra numa região onde tem um campo magnético uniforme, chamado de , que está perpendicular à velocidade da partícula. A matéria envolvida aqui é o eletromagnetismo, mais especificamente a força magnética que atua sobre partículas carregadas em movimento. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de força de Lorentz e algumas relações entre as constantes eletromagnéticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força magnética que atua sobre uma partícula carregada é dada pela Lei de Lorentz:
Como a força é perpendicular à velocidade, ela faz a partícula seguir uma trajetória circular.

Passo 3

Sabemos que para um movimento circular, a força magnética fornece a força centrípeta necessária para manter a partícula na trajetória. A força centrípeta é:
Onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a velocidade,
  • é o raio da trajetória circular.

Passo 4

Igualando a força magnética à força centrípeta:
Aqui, cancelamos a velocidade dos dois lados:

Passo 5

Agora, a velocidade da luz é dada por:
Isso nos permite relacionar as constantes magnéticas e elétricas.

Passo 6

Vamos reorganizar a equação que obtivemos:
Nosso objetivo é expressar algo na forma:
Para isso, precisamos relacionar a velocidade com as outras variáveis usando a expressão para .

Passo 7

Vamos substituir usando a definição dada:
Então,

Passo 8

Agora, voltando à expressão que queremos derivar, vamos reescrever em termos de :
Substituindo isso na expressão final desejada, obtemos:

Passo 9

Simplificando os termos:
Isso mostra a relação entre as variáveis e confirma a forma desejada da expressão.

Resposta

Assim, mostramos que a expressão pode ser escrita como:

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