Uma partícula carregada viaja através do espaço, até que chega em uma região permeada por um campo magnético uniforme B ext , orientado perpendicularmente à velocidade da partícula. No capítulo anterior, você aprendeu que tal partícula sofre a ação de uma força magnética que impõe uma trajetória circular. Além disso, devido ao movimento circular, a partícula carregada também cria seu próprio campo magnético Bp.
Usando que a velocidade da luz é c0=1 / raizmu0 varepsilon0, mostre que sua expressão poder ser escrita na forma:
q^24 pi varepsilon0 R 1m c0^2 Bext

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula carregada que está se movendo no espaço e entra numa região onde tem um campo magnético uniforme, chamado de , que está perpendicular à velocidade da partícula. A matéria envolvida aqui é o eletromagnetismo, mais especificamente a força magnética que atua sobre partículas carregadas em movimento. Para resolver isso, vamos precisar usar as leis de força de Lorentz e algumas relações entre as constantes eletromagnéticas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a força magnética F = q , v times Bext que atua sobre uma partícula carregada é dada pela Lei de Lorentz:
Como a força é perpendicular à velocidade, ela faz a partícula seguir uma trajetória circular.

Passo 3

Sabemos que para um movimento circular, a força magnética fornece a força centrípeta necessária para manter a partícula na trajetória. A força centrípeta Fc = m v^2R é:
Onde:
  • é a massa da partícula,
  • é a velocidade,
  • é o raio da trajetória circular.

Passo 4

Igualando a força magnética à força centrípeta:
q v Bext = m v^2R
Aqui, cancelamos a velocidade q Bext = m vR dos dois lados:

Passo 5

Agora, a velocidade da luz c0 = 1raizmu0 varepsilon0 é dada por:
Isso nos permite relacionar as constantes magnéticas e elétricas.

Passo 6

Vamos reorganizar a equação que obtivemos:
v = q Bext Rm
Nosso objetivo é expressar algo na forma:
q^24 pi varepsilon0 R 1m c0^2 Bext
Para isso, precisamos relacionar a velocidade com as outras variáveis usando a expressão para .

Passo 7

Vamos substituir c0^2 = 1mu0 varepsilon0 usando a definição dada:
1m c0^2 = m mu0 varepsilon0
Então,

Passo 8

Agora, voltando à expressão que queremos derivar, vamos reescrever q Bext = m vR Rightarrow v = q Bext Rm em termos de q^24 pi varepsilon0 R 1m c0^2 Bext = q^24 pi varepsilon0 R cdot m mu0 varepsilon0 cdot Bext :
Substituindo isso na expressão final desejada, obtemos:

Passo 9

Simplificando os termos:
q^24 pi varepsilon0 R cdot m mu0 varepsilon0 cdot Bext = q^2 m mu04 pi R Bext
Isso mostra a relação entre as variáveis e confirma a forma desejada da expressão.

Resposta

Assim, mostramos que a expressão pode ser escrita como:
q^24 pi varepsilon0 R 1m c0^2 Bext

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