Sabe-se que uma casca esférica de raio R e carga superficial Q gera um campo elétrico nulo em seu interior e de valor 14 pi epsilono Qx^2 nos pontos externos a ela e que estão a uma distância x do seu centro. Considere agora uma esfera maciça, também de raio R, porém com carga Q distribuída uniformemente em seu volume, use o resultado da casca carregada, e calcule o campo elétrico gerado por esta esfera maciça a uma distância x do seu centro, nas regiões em que: a) x >= R; b) x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre campos elétricos gerados por diferentes distribuições de carga em esferas. A gente vai usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, para calcular o campo elétrico de uma esfera maciça com carga distribuída uniformemente. Vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss tanto fora quanto dentro da esfera para encontrar o campo elétrico nas duas regiões especificadas.

Passo 2

Primeiro, vamos considerar a região onde a distância x do centro da esfera é maior ou igual ao raio R (x ≥ R). Nesse caso, a esfera maciça pode ser tratada como se toda a carga Q estivesse concentrada no centro. Isso é válido por causa da simetria esférica.

Passo 3

Para calcular o campo elétrico nessa região, usamos a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana é igual à carga interna dividida por ε₀. A superfície gaussiana aqui é uma esfera de raio x.

Passo 4

Aplicando a Lei de Gauss:
oint E cdot dA = Qvarepsilon0
Como o campo elétrico E é constante na superfície gaussiana e perpendicular a ela:
E cdot 4pi x^2 = Qvarepsilon0
Assim, isolando E:
E = 14pi varepsilon0 cdot Qx^2

Passo 5

Agora, vamos analisar a região onde a distância x é menor que o raio R (x < R). Aqui, a carga está distribuída uniformemente no volume da esfera, então a carga interna à superfície gaussiana de raio x é menor que Q.

Passo 6

Primeiro, calculamos a densidade de carga ρ:
rho = Q43pi R^3
A carga interna Q₁ dentro da esfera de raio x é:
Q1 = rho cdot 43pi x^3 = Q cdot (xR)^3

Passo 7

Aplicando novamente a Lei de Gauss para a superfície gaussiana de raio x:
E cdot 4pi x^2 = Q1varepsilon0 = Q (xR)^3varepsilon0
Isolando E:
E = 14pi varepsilon0 cdot Q xR^3

Resposta

Então, o campo elétrico gerado pela esfera maciça de carga Q a uma distância x do centro é:
a) Para x ≥ R:
E = 14pi varepsilon0 cdot Qx^2
b) Para x < R:
E = 14pi varepsilon0 cdot Q xR^3

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