Sabe-se que uma casca esférica de raio
e carga superficial
gera um campo elétrico nulo em seu interior e de valor
nos pontos externos a ela e que estão a uma distância
do seu centro. Considere agora uma esfera maciça, também de raio
, porém com carga
distribuída uniformemente em seu volume, use o resultado da casca carregada, e calcule o campo elétrico gerado por esta esfera maciça a uma distância
do seu centro, nas regiões em que: a)
; b)
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre campos elétricos gerados por diferentes distribuições de carga em esferas. A gente vai usar conceitos de eletrostática, especialmente a Lei de Gauss, para calcular o campo elétrico de uma esfera maciça com carga distribuída uniformemente. Vamos precisar entender como aplicar a Lei de Gauss tanto fora quanto dentro da esfera para encontrar o campo elétrico nas duas regiões especificadas.
Passo 2
Primeiro, vamos considerar a região onde a distância x do centro da esfera é maior ou igual ao raio R (x ≥ R). Nesse caso, a esfera maciça pode ser tratada como se toda a carga Q estivesse concentrada no centro. Isso é válido por causa da simetria esférica.
Passo 3
Para calcular o campo elétrico nessa região, usamos a Lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através de uma superfície gaussiana é igual à carga interna dividida por ε₀. A superfície gaussiana aqui é uma esfera de raio x.
Passo 4
Aplicando a Lei de Gauss:
Como o campo elétrico E é constante na superfície gaussiana e perpendicular a ela:
Assim, isolando E:
Passo 5
Agora, vamos analisar a região onde a distância x é menor que o raio R (x < R). Aqui, a carga está distribuída uniformemente no volume da esfera, então a carga interna à superfície gaussiana de raio x é menor que Q.
Passo 6
Primeiro, calculamos a densidade de carga ρ:
A carga interna Q₁ dentro da esfera de raio x é:
Passo 7
Aplicando novamente a Lei de Gauss para a superfície gaussiana de raio x:
Isolando E:
Resposta
Então, o campo elétrico gerado pela esfera maciça de carga Q a uma distância x do centro é:
a) Para x ≥ R:
b) Para x < R: