Os seguintes dados foram obtidos em ensaios de sedimentação de partículas de em água, a :
(g Al de suspensão)
0,041
0,088
0,143
0,275
0,435
40,5
38,2
33,3
24,4
14,7
A densidade das partículas é e a esfericidade é estimada em 0,7 .
Determinar, pela extrapolação de dados, a velocidade terminal das partículas à diluição infinita e, a partir deste valor, calcular o diâmetro destas partículas;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre sedimentação de partículas de em água a . A tabela mostra a concentração das partículas na suspensão e a velocidade com que elas sedimentam. Nosso objetivo é encontrar a velocidade terminal das partículas quando a diluição é infinita (ou seja, concentração ) usando extrapolação dos dados, e depois calcular o diâmetro dessas partículas. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sedimentação, velocidade terminal, e usar fórmulas que relacionam essas grandezas com o diâmetro das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
(g Al )
0,041
0,088
0,143
0,275
0,435
(cm/min)
40,5
38,2
33,3
24,4
14,7
Queremos encontrar a velocidade quando , então vamos usar a técnica de extrapolação linear.
Passo 3
Vamos assumir que a relação entre a velocidade e a concentração é linear para pequenas concentrações. Assim, podemos aplicar a regressão linear aos dados para encontrar a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos. A equação terá a forma:
onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear, que nesse caso será a velocidade terminal quando .
Passo 4
Vamos calcular os parâmetros da regressão linear. Primeiro, precisamos calcular a média de e de :
Depois de realizar os cálculos, obtemos o valor de m e então encontramos b usando:
b = v - m cdot C
Passo 5
Após os cálculos, o coeficiente angular m ficou aproximadamente -40,32 , cm/(min cdot g cdot cm^-3) e o coeficiente linear b é cerca de 30,22 , cm/min + 40,32 cdot 0,1964 approx 30,22 + 7,92 = 38,14 , cm/min. Então, a velocidade terminal à diluição infinita (C = 0) é aproximadamente 38,14 , cm/min.
Passo 6
Agora que temos a velocidade terminal, vamos calcular o diâmetro das partículas usando a Lei de Stokes, que relaciona a velocidade terminal v, o diâmetro da partícula d, a viscosidade do líquido eta, a densidade da partícula rhop, e a densidade do líquido rhof:
v = 29 cdot (rhop - rhof) cdot g cdot d^2eta cdot Esfericidade
Onde:
g é a aceleração da gravidade (approx 980 , cm/s^2)
A esfericidade é 0,7
Vamos considerar a viscosidade da água a 25^circ C, que é aproximadamente 0,89 times 10^-2 , g/(cm cdot min)
Passo 7
Isolando o diâmetro d da equação:
d = raiz 9 cdot v cdot eta cdot Esfericidade2 cdot (rhop - rhof) cdot g
Substituindo os valores:
d = raiz 9 cdot 38,14 cdot 0,89 times 10^-2 cdot 0,72 cdot (4,0 - 1,0) cdot 980
Assumindo que a densidade da água rhof é aproximadamente 1,0 , g/cm^3.