Os seguintes dados foram obtidos em ensaios de sedimentação de partículas de em água, a :
(g Al de suspensão)
0,041
0,088
0,143
0,275
0,435
40,5
38,2
33,3
24,4
14,7
A densidade das partículas é e a esfericidade é estimada em 0,7 .
Determinar, pela extrapolação de dados, a velocidade terminal das partículas à diluição infinita e, a partir deste valor, calcular o diâmetro destas partículas;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre sedimentação de partículas de em água a . A tabela mostra a concentração das partículas na suspensão e a velocidade com que elas sedimentam. Nosso objetivo é encontrar a velocidade terminal das partículas quando a diluição é infinita (ou seja, concentração ) usando extrapolação dos dados, e depois calcular o diâmetro dessas partículas. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sedimentação, velocidade terminal, e usar fórmulas que relacionam essas grandezas com o diâmetro das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
(g Al )
0,041
0,088
0,143
0,275
0,435
(cm/min)
40,5
38,2
33,3
24,4
14,7
Queremos encontrar a velocidade quando , então vamos usar a técnica de extrapolação linear.
Passo 3
Vamos assumir que a relação entre a velocidade e a concentração é linear para pequenas concentrações. Assim, podemos aplicar a regressão linear aos dados para encontrar a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos. A equação terá a forma:
onde é o coeficiente angular e é o coeficiente linear, que nesse caso será a velocidade terminal quando .
Passo 4
Vamos calcular os parâmetros da regressão linear. Primeiro, precisamos calcular a média de e de :
Agora, calculamos :
Depois de realizar os cálculos, obtemos o valor de e então encontramos usando:
Passo 5
Após os cálculos, o coeficiente angular ficou aproximadamente e o coeficiente linear é cerca de . Então, a velocidade terminal à diluição infinita () é aproximadamente .
Passo 6
Agora que temos a velocidade terminal, vamos calcular o diâmetro das partículas usando a Lei de Stokes, que relaciona a velocidade terminal , o diâmetro da partícula , a viscosidade do líquido , a densidade da partícula , e a densidade do líquido :
Onde:
é a aceleração da gravidade ()
A esfericidade é 0,7
Vamos considerar a viscosidade da água a , que é aproximadamente
Passo 7
Isolando o diâmetro da equação:
Substituindo os valores:
Assumindo que a densidade da água é aproximadamente .
Passo 8
Calculando os valores:
Convertendo para micrômetros ():
Resposta
A velocidade terminal das partículas à dilui��ão infinita é aproximadamente e o diâmetro dessas partículas é de cerca de .