Os seguintes dados foram obtidos em ensaios de sedimentação de partículas de Al2 O3 em água, a 25^circ C :
C (g Al g2 O3 / cm^3 de suspensão) 0,041 0,088 0,143 0,275 0,435
v(cm / min) 40,5 38,2 33,3 24,4 14,7
A densidade das partículas é 4,0 g / cm^3 e a esfericidade é estimada em 0,7 .
Determinar, pela extrapolação de dados, a velocidade terminal das partículas à diluição infinita e, a partir deste valor, calcular o diâmetro destas partículas;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre sedimentação de partículas de Al2O3 em água a 25^circ C. A tabela mostra a concentração das partículas na suspensão e a velocidade com que elas sedimentam. Nosso objetivo é encontrar a velocidade terminal das partículas quando a diluição é infinita (ou seja, concentração C = 0) usando extrapolação dos dados, e depois calcular o diâmetro dessas partículas. Para isso, vamos precisar entender conceitos de sedimentação, velocidade terminal, e usar fórmulas que relacionam essas grandezas com o diâmetro das partículas.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
C (g Al g2O3 / cm^3) 0,041 0,088 0,143 0,275 0,435
v (cm/min) 40,5 38,2 33,3 24,4 14,7
Queremos encontrar a velocidade v quando C = 0, então vamos usar a técnica de extrapolação linear.

Passo 3

Vamos assumir que a relação entre a velocidade v e a concentração C é linear para pequenas concentrações. Assim, podemos aplicar a regressão linear aos dados para encontrar a equação da reta que melhor se ajusta aos pontos. A equação terá a forma:
v = m cdot C + b
onde m é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear, que nesse caso será a velocidade terminal quando C = 0.

Passo 4

Vamos calcular os parâmetros da regressão linear. Primeiro, precisamos calcular a média de C e de v:
C = 0,041 + 0,088 + 0,143 + 0,275 + 0,4355 = 0,1964 , g cdot cm^-3
v = 40,5 + 38,2 + 33,3 + 24,4 + 14,75 = 30,22 , cm/min
Agora, calculamos m:
m = sum (Ci - C)(vi - v)sum (Ci - C)^2
Depois de realizar os cálculos, obtemos o valor de m e então encontramos b usando:
b = v - m cdot C

Passo 5

Após os cálculos, o coeficiente angular m ficou aproximadamente -40,32 , cm/(min cdot g cdot cm^-3) e o coeficiente linear b é cerca de 30,22 , cm/min + 40,32 cdot 0,1964 approx 30,22 + 7,92 = 38,14 , cm/min. Então, a velocidade terminal à diluição infinita ( C = 0) é aproximadamente 38,14 , cm/min.

Passo 6

Agora que temos a velocidade terminal, vamos calcular o diâmetro das partículas usando a Lei de Stokes, que relaciona a velocidade terminal v, o diâmetro da partícula d, a viscosidade do líquido eta, a densidade da partícula rhop, e a densidade do líquido rhof:
v = 29 cdot (rhop - rhof) cdot g cdot d^2eta cdot Esfericidade
Onde:
  • g é a aceleração da gravidade ( approx 980 , cm/s^2)
  • A esfericidade é 0,7
  • Vamos considerar a viscosidade da água a 25^circ C, que é aproximadamente 0,89 times 10^-2 , g/(cm cdot min)

Passo 7

Isolando o diâmetro d da equação:
d = raiz 9 cdot v cdot eta cdot Esfericidade2 cdot (rhop - rhof) cdot g
Substituindo os valores:
d = raiz 9 cdot 38,14 cdot 0,89 times 10^-2 cdot 0,72 cdot (4,0 - 1,0) cdot 980
Assumindo que a densidade da água rhof é aproximadamente 1,0 , g/cm^3.

Passo 8

Calculando os valores:
d = raiz 9 cdot 38,14 cdot 0,0089 cdot 0,72 cdot 3 cdot 980 = raiz 2,1475880 = raiz0,000365 approx 0,0191 , cm
Convertendo para micrômetros ( 1 , cm = 10^4 , mum):
d approx 0,0191 , cm times 10^4 , mumcm = 191 , mum

Resposta

A velocidade terminal das partículas à dilui��ão infinita é aproximadamente 38,14 , cm/min e o diâmetro dessas partículas é de cerca de 191 , mum.

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