Seja f : R^2 R e considere em R^2 as coordenadas polares dadas por x=r cos theta e y =r sen theta. Calcule partial f / partial r e partial f / partial theta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função expressa em coordenadas cartesianas e . Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de em relação a e a . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e entender como converter derivadas de coordenadas cartesianas para polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada parcial de partial fpartial r = partial fpartial x cdot partial xpartial r + partial fpartial y cdot partial ypartial r em relação a . Isso quer dizer que vamos ver como muda conforme o raio varia, mantendo constante. Para isso, usamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de partial xpartial r = cos theta e partial ypartial r = sin theta em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão da derivada parcial de partial fpartial r = partial fpartial x cdot cos theta + partial fpartial y cdot sin theta em relação a :
Isso nos dá como muda com o raio .

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial theta = partial fpartial x cdot partial xpartial theta + partial fpartial y cdot partial ypartial theta em relação a . Isso quer dizer que vamos ver como varia conforme o ângulo muda, mantendo constante. Usamos novamente a regra da cadeia:

Passo 6

Calculando as derivadas parciais de partial xpartial theta = -r sin theta e partial ypartial theta = r cos theta em relação a :

Passo 7

Substituindo essas derivadas na expressão da derivada parcial de partial fpartial theta = partial fpartial x cdot (-r sin theta) + partial fpartial y cdot (r cos theta) em relação a :

Resposta

Então, as derivadas parciais de partial fpartial r = partial fpartial x cos theta + partial fpartial y sin theta são:
partial fpartial theta = -r sin theta cdot partial fpartial x + r cos theta cdot partial fpartial y
e

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