Seja
:
e considere em
as coordenadas polares dadas por
e y
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
expressa em coordenadas cartesianas
e
. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e entender como converter derivadas de coordenadas cartesianas para polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada parcial de
em relação a
. Isso quer dizer que vamos ver como
muda conforme o raio
varia, mantendo
constante. Para isso, usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão da derivada parcial de
em relação a
:
Isso nos dá como
muda com o raio
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso quer dizer que vamos ver como
varia conforme o ângulo
muda, mantendo
constante. Usamos novamente a regra da cadeia:
Passo 6
Calculando as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Passo 7
Substituindo essas derivadas na expressão da derivada parcial de
em relação a
:
Resposta
Então, as derivadas parciais de
são:
e