Seja : e considere em as coordenadas polares dadas por e y . Calcule e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função expressa em coordenadas cartesianas e . Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de em relação a e a . Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e entender como converter derivadas de coordenadas cartesianas para polares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a derivada parcial de em relação a . Isso quer dizer que vamos ver como muda conforme o raio varia, mantendo constante. Para isso, usamos a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de e em relação a :

Passo 4

Substituindo essas derivadas na expressão da derivada parcial de em relação a :
Isso nos dá como muda com o raio .

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada parcial de em relação a . Isso quer dizer que vamos ver como varia conforme o ângulo muda, mantendo constante. Usamos novamente a regra da cadeia:

Passo 6

Calculando as derivadas parciais de e em relação a :

Passo 7

Substituindo essas derivadas na expressão da derivada parcial de em relação a :

Resposta

Então, as derivadas parciais de são:
e

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Uma partícula começa na origem com velocidade inicial . Sua aceleração é a . Determine sua função posição.
Em cada uma das afirmações coloque V se a afirmação for verdadeira ou F se a afirmação for falsa e em todos os casos justifique a sua escolha.
© ( ) .
No projeto de curvas de transferência, usadas para para ligar trechos de ferrovia em trilhos retos, é importante perceber que a aceleração do trem deve ser contínua, de modo que a força de reação exercida pelo trem na pista também é contínua. Por causa das fórmulas para os componentes de aceleração na Seção 13.4, este só será o caso se a curvatura variar continuamente.
(a) Um candidato lógico à curva de transferência para juntar dois trilhos existentes dados por para e para poderia ser a função .
(b) Suponha que a partícula tenha uma massa . Mostre que a magnitude da força que é necessária para produzir esse movimento, denominada força centrípeta, é
Usando a regra da cadeia, calcule .
(b)