Seja
:
e considere em
as coordenadas polares dadas por
e y
. Calcule
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
expressa em coordenadas cartesianas
e
. Nosso objetivo aqui é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia e entender como converter derivadas de coordenadas cartesianas para polares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a derivada parcial de
em relação a
. Isso quer dizer que vamos ver como
muda conforme o raio
varia, mantendo
constante. Para isso, usamos a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Passo 4
Substituindo essas derivadas na expressão da derivada parcial de
em relação a
:
Isso nos dá como
muda com o raio
.
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Isso quer dizer que vamos ver como
varia conforme o ângulo
muda, mantendo
constante. Usamos novamente a regra da cadeia:
Passo 6
Calculando as derivadas parciais de
e
em relação a
:
Passo 7
Substituindo essas derivadas na expressão da derivada parcial de
em relação a
:
Resposta
Então, as derivadas parciais de
são:
e
Exercícios relacionados
Uma partícula começa na origem com velocidade inicial
. Sua aceleração é a
. Determine sua função posição.
Em cada uma das afirmações coloque V se a afirmação for verdadeira ou F se a afirmação for falsa e em todos os casos justifique a sua escolha.
© ( ) .
© ( )
No projeto de curvas de transferência, usadas para para ligar trechos de ferrovia em trilhos retos, é importante perceber que a aceleração do trem deve ser contínua, de modo que a força de reação exercida pelo trem na pista também é contínua. Por causa das fórmulas para os componentes de aceleração na Seção 13.4, este só será o caso se a curvatura variar continuamente.
(a) Um candidato lógico à curva de transferência para juntar dois trilhos existentes dados por para
e
para
poderia ser a função
.
(b) Suponha que a partícula tenha uma massa . Mostre que a magnitude da força
que é necessária para produzir esse movimento, denominada força centrípeta, é
(a) Um candidato lógico à curva de transferência para juntar dois trilhos existentes dados por
(b) Suponha que a partícula tenha uma massa
Usando a regra da cadeia, calcule
.
(b)
(b)