A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por com em metros e t em segundos. Determine: para , a) o vetor posição , o vetor velocidade , o vetor aceleração da partícula; b) a velocidade da partícula num
tempo t qualquer; e) a velocidade média para o intervalo de tempo .

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos a posição de uma partícula em um plano xy dada pela função vetorial:
Onde está em metros e em segundos. Precisamos determinar:
a) Para s:
  • O vetor posição
  • O vetor velocidade
  • O vetor aceleração
b)
  • A velocidade da partícula em um tempo qualquer
  • A velocidade média para o intervalo de tempo s
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a vetores posição, derivando para encontrar velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor posição para s. Isso significa substituir por 2 na equação de :
Vamos calcular cada componente:
Para :
Para :
Então, o vetor posição em s é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor velocidade . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente de :
Para a componente :
Para a componente :
Então, a expressão para o vetor velocidade é:
Agora, substituindo s:
Para :
Para :
Portanto, o vetor velocidade em s é:

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o vetor aceleração . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Derivando cada componente de :
Para a componente :
Para a componente :
Então, a expressão para o vetor aceleração é:
Substituindo s:
Para :
Para :
Portanto, o vetor aceleração em s é:

Passo 5

Agora, vamos para a parte b) do exercício. Primeiro, precisamos encontrar a expressão para a velocidade da partícula em um tempo qualquer . Já derivamos essa função no Passo 3:
Então, essa é a expressão da velocidade para qualquer valor de .

Passo 6

Por último, vamos determinar a velocidade média da partícula no intervalo de tempo de s. A velocidade média é é dada por:
é
Primeiro, vamos calcular .
Substituindo s na equação de :
Para :
Para :
Então, .
Já sabemos que (do Passo 2).
Agora, calculamos a diferença:
é

Resposta

a) Para s:
b)
  • A velocidade da partícula em um tempo qualquer é:
  • A velocidade média no intervalo de tempo s é:
é

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