A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por r=(2 t^3-5 t) i+(10-2 t^4) j com r em metros e t em segundos. Determine: para t=2,00 s, a) o vetor posição r, o vetor velocidade v, o vetor aceleração a da partícula; b) a velocidade da partícula num
tempo t qualquer; e) a velocidade média para o intervalo de tempo 1 <= t <= 2 s.

Passo 1

Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos a posição de uma partícula em um plano xy dada pela função vetorial:
r = (2 t^3 - 5 t) i + (10 - 2 t^4) j
Onde está em metros e em segundos. Precisamos determinar:
a) Para s:
  • O vetor posição
  • O vetor velocidade
  • O vetor aceleração
b)
  • A velocidade da partícula em um tempo qualquer
  • A velocidade média para o intervalo de tempo s
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a vetores posição, derivando para encontrar velocidade e aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o vetor posição r = (2 (2)^3 - 5 (2)) i + (10 - 2 (2)^4) j para 2 (2)^3 - 5 (2) = 2 times 8 - 10 = 16 - 10 = 6 s. Isso significa substituir 10 - 2 (2)^4 = 10 - 2 times 16 = 10 - 32 = -22 por 2 na equação de r = 6 i - 22 j , metros :
Vamos calcular cada componente:
Para :
Para :
Então, o vetor posição em s é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor velocidade v = drdt . A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
ddt(2 t^3 - 5 t) = 6 t^2 - 5
Vamos derivar cada componente de ddt(10 - 2 t^4) = -8 t^3 :
Para a componente v = (6 t^2 - 5) i - 8 t^3 j :
6 (2)^2 - 5 = 6 times 4 - 5 = 24 - 5 = 19
Para a componente -8 (2)^3 = -8 times 8 = -64 :
v = 19 i - 64 j , m/s
Então, a expressão para o vetor velocidade é:
Agora, substituindo s:
Para :
Para :
Portanto, o vetor velocidade em s é:

Passo 4

Em seguida, vamos determinar o vetor aceleração a = dvdt . A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
ddt(6 t^2 - 5) = 12 t
Derivando cada componente de ddt(-8 t^3) = -24 t^2 :
Para a componente a = 12 t i - 24 t^2 j :
12 times 2 = 24
Para a componente -24 times (2)^2 = -24 times 4 = -96 :
a = 24 i - 96 j , m/s^2
Então, a expressão para o vetor aceleração é:
Substituindo s:
Para :
Para :
Portanto, o vetor aceleração em s é:

Passo 5

Agora, vamos para a parte b) do exercício. Primeiro, precisamos encontrar a expressão para a velocidade da partícula em um tempo qualquer v = (6 t^2 - 5) i - 8 t^3 j . Já derivamos essa função no Passo 3:
Então, essa é a expressão da velocidade para qualquer valor de .

Passo 6

Por último, vamos determinar a velocidade média da partícula no intervalo de tempo de vmédia = r(2) - r(1)2 - 1 = r(2) - r(1) s. A velocidade média 2 (1)^3 - 5 (1) = 2 - 5 = -3 é é dada por:
10 - 2 (1)^4 = 10 - 2 = 8 é
Primeiro, vamos calcular vmédia = (6 i - 22 j) - (-3 i + 8 j) = 9 i - 30 j , m/s .
Substituindo s na equação de :
Para :
Para :
Então, .
Já sabemos que (do Passo 2).
Agora, calculamos a diferença:
é

Resposta

a) Para r = 6 i - 22 j , m s:
v = 19 i - 64 j , m/s
a = 24 i - 96 j , m/s^2
v = (6 t^2 - 5) i - 8 t^3 j , m/s
b)
  • A velocidade da partícula em um tempo qualquer vmédia = 9 i - 30 j , m/s é:
  • A velocidade média no intervalo de tempo s é:
é

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