A posição de uma partícula que se move em um plano xy é dada por
com
em metros e t em segundos. Determine: para
, a) o vetor posição
, o vetor velocidade
, o vetor aceleração
da partícula; b) a velocidade da partícula num
tempo t qualquer; e) a velocidade média para o intervalo de tempo
.
tempo t qualquer; e) a velocidade média para o intervalo de tempo
Passo 1
Vamos começar resumindo o que o exercício pede. Temos a posição de uma partícula em um plano xy dada pela função vetorial:
Onde
está em metros e
em segundos. Precisamos determinar:
a) Para
s:
- O vetor posição
- O vetor velocidade
- O vetor aceleração
b)
- A velocidade da partícula em um tempo qualquer
- A velocidade média para o intervalo de tempo
s
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial aplicados a vetores posição, derivando para encontrar velocidade e aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o vetor posição
para
s. Isso significa substituir
por 2 na equação de
:
Vamos calcular cada componente:
Para
:
Para
:
Então, o vetor posição em
s é:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor velocidade
. A velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo:
Vamos derivar cada componente de
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a expressão para o vetor velocidade é:
Agora, substituindo
s:
Para
:
Para
:
Portanto, o vetor velocidade em
s é:
Passo 4
Em seguida, vamos determinar o vetor aceleração
. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja:
Derivando cada componente de
:
Para a componente
:
Para a componente
:
Então, a expressão para o vetor aceleração é:
Substituindo
s:
Para
:
Para
:
Portanto, o vetor aceleração em
s é:
Passo 5
Agora, vamos para a parte b) do exercício. Primeiro, precisamos encontrar a expressão para a velocidade da partícula em um tempo qualquer
. Já derivamos essa função no Passo 3:
Então, essa é a expressão da velocidade para qualquer valor de
.
Passo 6
Por último, vamos determinar a velocidade média da partícula no intervalo de tempo de
s. A velocidade média
é dada por:
Primeiro, vamos calcular
.
Substituindo
s na equação de
:
Para
:
Para
:
Então,
.
Já sabemos que
(do Passo 2).
Agora, calculamos a diferença:
Resposta
a) Para
s:
b)
- A velocidade da partícula em um tempo qualquer
é:
- A velocidade média no intervalo de tempo
s é: