Um projétil é disparado do solo com velocidade de 1000 m / s, sob um ângulo de 53^circ com a horizontal. Considerando-se que o solo é plano e horizontal, que a aceleração da gravidade local é 9,8 m / s^2. Determine: (a) O alcance do projétil; (b) O tempo para que o projétil atinja a altura máxima; (c) A altura máxima em relação ao solo; (d) A que altura o projétil encontra-se em relação ao solo após 10 s ;(e) A velocidade e a aceleração do projétil, na altura máxima.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre movimento de projétil! Aqui, a gente tem um projétil que é lançado do chão com uma velocidade inicial de e faz um ângulo de com a horizontal. Vamos precisar usar algumas fórmulas básicas de física para decompor a velocidade inicial, calcular o alcance, o tempo até a altura máxima, a própria altura máxima, a altura após 10 segundos e também a velocidade e aceleração no ponto mais alto. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a velocidade inicial nos componentes horizontal e vertical. Isso é importante porque o movimento horizontal e vertical são independentes.
A componente horizontal ( v0x = v0 cdot cos(theta) ) é dada por:
v0y = v0 cdot sin(theta)
E a componente vertical ( ) é:
Onde:

Passo 3

Vamos calcular v0x = 1000 cdot cos(53^circ) approx 1000 cdot 0,6018 approx 601,8 , m/s e v0y = 1000 cdot sin(53^circ) approx 1000 cdot 0,7986 approx 798,6 , m/s :

Passo 4

(a) Alcance do projétil
O alcance ( R = v0x cdot ttotal ) de um projétil no movimento horizontal é dado por:
Primeiro, precisamos encontrar o tempo total de voo ( ). Como o projétil sobe e desce, o tempo total é o dobro do tempo para atingir a altura máxima.

Passo 5

(b) Tempo para atingir a altura máxima
No ponto mais alto, a velocidade vertical é zero. Usamos a fórmula:
vy = v0y - g cdot t
Onde 0 = 798,6 - 9,8 cdot t na altura máxima. Então:
t = 798,69,8 approx 81,4 , s
Resolvendo para :

Passo 6

Agora, o tempo total de voo é o dobro desse valor:
ttotal = 2 cdot 81,4 approx 162,8 , s

Passo 7

Voltando ao alcance:
R = 601,8 cdot 162,8 approx 97.869 , m

Passo 8

© Altura máxima em relação ao solo
Usamos a fórmula da altura máxima:
H = v0y cdot t - 12 g t^2
Já sabemos que H = 798,6 cdot 81,4 - 12 cdot 9,8 cdot (81,4)^2 :
H approx 64.834,04 - 32.002,616 approx 32.831,424 , m

Passo 9

(d) Altura após 10 segundos
Usamos a mesma fórmula da altura:
h = v0y cdot t - 12 g t^2
Com h = 798,6 cdot 10 - 12 cdot 9,8 cdot 10^2 :
h = 7986 - 490 approx 7496 , m

Passo 10

(e) Velocidade e aceleração na altura máxima
Na altura máxima, a velocidade vertical é zero, mas a horizontal continua a mesma porque não há aceleração horizontal (ignorando o atrito do ar). Então:
  • Velocidade:
v = v0x approx 601,8 , m/s (apenas horizontal)
  • Aceleração:
a = g = -9,8 , m/s^2 (única ace<=ração vertical para baixo) úçã

Resposta

(a) Alcance do projétil: aproximadamente
(b) Tempo para atingir a altura máxima: cerca de
© Altura máxima em relação ao solo: aproximadamente
(d) Altura após : cerca de
(e) Na altura máxima, a velocidade do projétil é horizontal e a aceleração é para baixo.

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