Uma partícula descreve um movimento circular uniformemente variado. Num dado instante sua velocidade angular é 2,0 rad/s e sua aceleração angular é 3,0 rad/s2. Se no instante t = 0 s a partícula partiu do repouso, determine o ângulo descrito no instante em que sua velocidade angular for 4,0 rad/s.
522,5 m / s^2 e 1,018 s;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta que temos aqui é sobre movimento circular uniformemente variado. Basicamente, uma partícula está se movendo em um círculo e sua velocidade angular está mudando de forma constante. A gente sabe que, em um determinado momento, a velocidade angular dela é de 2,0 rad/s e sua aceleração angular é de 3,0 rad/s². Além disso, sabemos que no instante inicial (quando $ t = 0 $ segundos), a partícula estava parada, ou seja, com velocidade angular zero. O que precisamos descobrir é qual o ângulo que a partícula percorre quando sua velocidade angular chega a 4,0 rad/s.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é movimento circular uniformemente variado. Nesse tipo de movimento, a velocidade angular ($ \omega omega çã \alpha alpha çã \omega_0 omega0 çã \alpha alpha \omega omega ó t $) é dada pela fórmula:
t
Como no nosso caso, $ \omega_0 = 0 $ (porque a partícula partiu do repouso), a fórmula simplifica para:
omega = omega0 + alpha t

Passo 3

Agora, queremos encontrar o tempo que a partícula leva para sua velocidade angular passar de 2,0 rad/s para 4,0 rad/s. Vamos usar a fórmula acima para isso. Sabemos que $ \alpha = 3,0 , rad/s² $ e $ \omega = 4,0 , rad/s $. Substituindo esses valores na equação:
alpha = 3,0 , rad/s²
Resolvendo para $ t $:
omega = 4,0 , rad/s
4,0 = 0 + 3,0 cdot t

Passo 4

Agora que temos o tempo que leva para a velocidade angular chegar a 4,0 rad/s, podemos calcular o ângulo percorrido nesse intervalo de tempo. A fórmula para o deslocamento angular ($ \theta $) em movimento circular uniformemente variado é:
theta
Como $ \omega_0 = 0 $, a fórmula fica:
theta = omega0 t + 12 alpha t^2

Passo 5

Substituindo os valores que já conhecemos:
theta = 12 times 3,0 , rad/s² times (1,333 , s)^2 ²
Calculando $ t^2 $:
t^2 ²
Então:
(1,333)^2 approx 1,777 , s²
theta = 12 times 3,0 times 1,777
theta = 1,5 times 1,777

Resposta

O ângulo descrito quando a velocidade angular atinge 4,0 rad/s é aproximadamente 2,666 radianos.

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