Uma partícula descreve um movimento circular uniformemente variado. Num dado instante sua velocidade angular é 2,0 rad/s e sua aceleração angular é 3,0 rad/s2. Se no instante t = 0 s a partícula partiu do repouso, determine o ângulo descrito no instante em que sua velocidade angular for 4,0 rad/s.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A pergunta que temos aqui é sobre movimento circular uniformemente variado. Basicamente, uma partícula está se movendo em um círculo e sua velocidade angular está mudando de forma constante. A gente sabe que, em um determinado momento, a velocidade angular dela é de 2,0 rad/s e sua aceleração angular é de 3,0 rad/s². Além disso, sabemos que no instante inicial (quando $ t = 0 $ segundos), a partícula estava parada, ou seja, com velocidade angular zero. O que precisamos descobrir é qual o ângulo que a partícula percorre quando sua velocidade angular chega a 4,0 rad/s.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é movimento circular uniformemente variado. Nesse tipo de movimento, a velocidade angular ($ \omega
\alpha
\omega_0
\alpha
\omega
t $) é dada pela fórmula:
Como no nosso caso, $ \omega_0 = 0 $ (porque a partícula partiu do repouso), a fórmula simplifica para:
Passo 3
Agora, queremos encontrar o tempo que a partícula leva para sua velocidade angular passar de 2,0 rad/s para 4,0 rad/s. Vamos usar a fórmula acima para isso. Sabemos que $ \alpha = 3,0 , rad/s² $ e $ \omega = 4,0 , rad/s $. Substituindo esses valores na equação:
Resolvendo para $ t $:
Passo 4
Agora que temos o tempo que leva para a velocidade angular chegar a 4,0 rad/s, podemos calcular o ângulo percorrido nesse intervalo de tempo. A fórmula para o deslocamento angular ($ \theta $) em movimento circular uniformemente variado é:
Como $ \omega_0 = 0 $, a fórmula fica:
Passo 5
Substituindo os valores que já conhecemos:
Calculando $ t^2 $:
Então:
Resposta
O ângulo descrito quando a velocidade angular atinge 4,0 rad/s é aproximadamente 2,666 radianos.