Uma partícula descreve um movimento circular uniformemente variado. Num dado instante sua velocidade angular é 2,0 rad/s e sua aceleração angular é 3,0 rad/s2. Se no instante t = 0 s a partícula partiu do repouso, determine o ângulo descrito no instante em que sua velocidade angular for 4,0 rad/s.
e
;
Passo 1
Vamos resumir o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula que se move em um trajeto circular com variação uniforme, ou seja, a aceleração angular é constante. No momento dado, sua velocidade angular é
e sua aceleração angular é
. Sabemos que no tempo $t = 0 $ s, a partícula partiu do repouso. Precisamos descobrir qual o ângulo total que a partícula percorreu quando sua velocidade angular chegar a
. Para resolver isso, vamos usar as equações do movimento angular uniformemente variado.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o tempo que a partícula leva para passar de uma velocidade angular de
para
, sabendo que sua aceleração angular é constante e igual a
.
A fórmula para a velocidade angular no movimento uniformemente variado é:
Onde:
-
é a velocidade angular final, -
é a velocidade angular inicial, -
é a aceleração angular, -
é o tempo.
Passo 3
Sabemos que no instante
s, a partícula partiu do repouso, ou seja,
. Queremos encontrar o tempo
quando
.
Substituindo os valores na equação:
Passo 4
Resolvendo para
:
Então, leva aproximadamente
segundos para a velocidade angular alcançar
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o ângulo
que a partícula percorre nesse tempo. Para isso, usamos a equação do deslocamento angular no movimento uniformemente variado:
Onde:
-
é o ângulo total descrito, -
é a velocidade angular inicial, -
é a aceleração angular, -
é o tempo.
Passo 6
Como
, a equação simplifica para:
Passo 7
Calculando:
Resposta
O ângulo descrito pela partícula quando sua velocidade angular for
é aproximadamente
.