Uma partícula se desloca em linha reta, com sua distância à origem é dada, em função do tempo, por: x(t)=4 t+6 t^2
a) Calcular a sua velocidade e a aceleração, em unidades S.I., nos instantes t=1 s e t=2 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula que se desloca em linha reta, e nos dá uma equação que mostra a distância dessa partícula em função do tempo: . Vamos precisar entender sobre velocidade e aceleração, que são conceitos da cinemática, uma área da física que estuda os movimentos.

Passo 2

Primeiro, vamos falar sobre velocidade. A velocidade é a taxa de variação da posição da partícula em relação ao tempo. Matemáticamente, a velocidade v(t) = dxdt é a derivada da posição em relação ao tempo :
Vamos calcular essa derivada para a nossa função .

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de v(t) = ddt(4t) + ddt(6t^2) = 4 + 12t :
v(t) = 4 + 12t
Então, a velocidade da partícula em função do tempo é:

Passo 4

Em seguida, vamos falar sobre aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Ela nos diz como a velocidade está mudando a cada instante. Matemáticamente, a aceleração a(t) = dvdt é a derivada da velocidade em relação ao tempo :
Vamos calcular essa derivada.

Passo 5

Calculando a derivada de a(t) = ddt(4) + ddt(12t) = 0 + 12 = 12 :
a(t) = 12 , m/s^2
Então, a aceleração da partícula é constante e vale:

Passo 6

Agora, vamos calcular a velocidade e a aceleração nos instantes v(1) = 4 + 12 times 1 = 16 , m/s e a(1) = 12 , m/s^2 .
Primeiro, para v(2) = 4 + 12 times 2 = 28 , m/s :
a(2) = 12 , m/s^2
Depois, para :

Resposta

A velocidade e a aceleração da partícula nos instantes solicitados são:
  • Em :
    • Velocidade:
    • Aceleração:
  • Em :
    • Velocidade:
    • Aceleração:

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