Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
(d) Encontre a Aceleração da partícula como função do tempo.
Passo 1
Vamos lá! A questão pede para encontrarmos a aceleração de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta. A posição dessa partícula em função do tempo está dada por:
Para resolver isso, precisamos entender que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, vamos primeiro encontrar a velocidade (primeira derivada) e depois derivar novamente para achar a aceleração.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. A função que vamos derivar é:
Para derivar essa função, vamos usar a Regra do Quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra. A Regra do Quociente diz que:
onde
e
.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
e
:
Agora aplicamos a Regra do Quociente:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição, ou seja, a derivada da velocidade
. Temos:
Essa derivada também vai precisar da Regra do Quociente e da Regra do Produto, pois temos termos multiplicados por
.
Passo 5
Vamos simplificar antes de derivar. Podemos escrever:
Aplicando novamente a Regra do Quociente:
Simplificando os termos:
Passo 6
Podemos fatorar e simplificar mais:
Dividindo todos os termos por
:
Resposta
A função da aceleração da partícula em função do tempo é: