Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
s = 4 sen(2 pi t) / t
(d) Encontre a Aceleração da partícula como função do tempo.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para encontrarmos a aceleração de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta. A posição dessa partícula em função do tempo está dada por:
Para resolver isso, precisamos entender que a aceleração é a segunda derivada da posição em relação ao tempo. Ou seja, vamos primeiro encontrar a velocidade (primeira derivada) e depois derivar novamente para achar a aceleração.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade da partícula, que é a primeira derivada da posição em relação ao tempo. A função que vamos derivar é:
Para derivar essa função, vamos usar a Regra do Quociente, que é usada quando temos uma função dividida por outra. A Regra do Quociente diz que:
onde e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de e :
Agora aplicamos a Regra do Quociente:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos encontrar a aceleração, que é a segunda derivada da posição, ou seja, a derivada da velocidade . Temos:
Essa derivada também vai precisar da Regra do Quociente e da Regra do Produto, pois temos termos multiplicados por .

Passo 5

Vamos simplificar antes de derivar. Podemos escrever:
Aplicando novamente a Regra do Quociente:
Simplificando os termos:

Passo 6

Podemos fatorar e simplificar mais:
Dividindo todos os termos por :

Resposta

A função da aceleração da partícula em função do tempo é:

Exercícios relacionados

A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(i) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma posição como função do tempo dada por s(t) = (1/6) t^3 - (1/8) cos(4 t). Em que instantes de tempo, as partículas tem acelerações são iguais?
A posição de uma partícula é dada como função do tempo por s(t) = 1 - 3t + t^2 + 3t^3 de modo unidimensional.
(f) Em que instantes de tempo a partícula tem seu sentido positivo em relação ao sistema.
Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
s = 4 sen(2 pi t) / t
(j) Encontre a velocidade média da partícula entre os instantes t = 0 e t = 1/4.
Considere um tanque que desloca-se horizontalmente com velocidade v = 36 Km/h em módulo. O mesmo possui um canhão cuja inclinação é de 30 graus com a horizontal e a saida do canhão está a uma altura de 5 m em relação ao solo. Um carro desloca-se na mesma linha de movimento do taque, mas com velocidade de 40 Km/h e no sentido oposto. Em um dado instante de tempo, a distância entre o tanque e o carro é de 2000 m . Considere que o canhão dispara nesse momento.
(d) Encontre a velocidade do carro em relação ao canhão e vice-versa.