Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
s = 4 sen(2 pi t) / t
(j) Encontre a velocidade média da partícula entre os instantes t = 0 e t = 1/4.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a velocidade média de uma partícula que se move ao longo de uma linha reta. A função que descreve a posição dela em função do tempo é:
Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo, especificamente sobre limite e média de variação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a velocidade média. A fórmula é bem simples:
é
Aqui, é a posição da partícula no tempo , é o tempo inicial e é o tempo final.

Passo 3

No nosso caso, queremos a velocidade média entre e . Então, e .
Mas olha só, se substituirmos na função , a gente tem uma divisão por zero, o que não é permitido. Para resolver isso, precisamos calcular o limite de quando se aproxima de 0.

Passo 4

Vamos calcular o limite:
Sabemos que:
Aplicando isso:
Então, .

Passo 5

Agora, vamos calcular :

Passo 6

Com os valores de e , vamos aplicar a fórmula da velocidade média:
é

Resposta

A velocidade média da partícula entre e é:
é

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Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
s = 4 sen(2 pi t) / t
(d) Encontre a Aceleração da partícula como função do tempo.
A posição de uma partícula no instante de tempo 0 é 0,125 e sua velocidade nesse instante é 0,5 . O movimento é unidimensional e sua aceleração como função do tempo é dada por a(t) = 2 cos(4 t) + t.
(i) Uma segunda partícula desloca-se ao longo do mesmo eixo com uma posição como função do tempo dada por s(t) = (1/6) t^3 - (1/8) cos(4 t). Em que instantes de tempo, as partículas tem acelerações são iguais?
Considere um tanque que desloca-se horizontalmente com velocidade v = 36 Km/h em módulo. O mesmo possui um canhão cuja inclinação é de 30 graus com a horizontal e a saida do canhão está a uma altura de 5 m em relação ao solo. Um carro desloca-se na mesma linha de movimento do taque, mas com velocidade de 40 Km/h e no sentido oposto. Em um dado instante de tempo, a distância entre o tanque e o carro é de 2000 m . Considere que o canhão dispara nesse momento.
(d) Encontre a velocidade do carro em relação ao canhão e vice-versa.
Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
r = (2 sen(t), 2 cos(t))
(f) Em que instantes de tempo a partícula passa pela origem?