A posição de uma partícula é dada como função do tempo por
de modo unidimensional.
(f) Em que instantes de tempo a partícula tem seu sentido positivo em relação ao sistema.
(f) Em que instantes de tempo a partícula tem seu sentido positivo em relação ao sistema.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá a posição de uma partícula em função do tempo:
. Nosso objetivo aqui é descobrir em que momentos no tempo a partícula está se movendo na direção positiva. Para isso, vamos precisar entender sobre derivadas, já que a velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a velocidade da partícula. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a derivada de
:
Então, a velocidade é:
Passo 4
Queremos saber quando a velocidade é positiva, ou seja, quando
. Vamos resolver a inequação:
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
Para resolver essa inequação quadrática, primeiro vamos encontrar as raízes da equação
usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
, e
.
Passo 6
Calculando o discriminante:
Então:
Passo 7
As raízes são:
Como tempo não pode ser negativo, desconsideramos
se for negativo.
Passo 8
A inequação
será verdadeira para valores de
fora das raízes
e
. Ou seja, para
ou
. Considerando que
deve ser positivo:
Resposta
A partícula tem sentido positivo para momentos de tempo maiores que
. Aproximadamente, isso ocorre para
segundos.