Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
(f) Em que instantes de tempo a partícula passa pela origem?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula com massa de 2 Kg que se move no espaço, e sua posição em função do tempo é dada pela função vetorial:
O objetivo aqui é descobrir em que momentos de tempo essa partícula passa pela origem, ou seja, quando suas coordenadas x e y são ambas iguais a zero.
Passo 2
Para encontrar os instantes em que a partícula está na origem, precisamos determinar quando as componentes da posição são iguais a zero simultaneamente. Vamos separar as componentes x e y da função posição:
Passo 3
Agora, vamos estabelecer as condições para que a partícula esteja na origem:
Isso significa que precisamos resolver o seguinte sistema de equações:
Passo 4
Vamos resolver cada equação individualmente:
-
Para
: - Dividindo ambos os lados por 2, temos
. - A função seno é igual a zero quando
, onde é um número inteiro.
- Dividindo ambos os lados por 2, temos
-
Para
: - Dividindo ambos os lados por 2, temos
. - A função cosseno é igual a zero quando
, onde é um número inteiro.
- Dividindo ambos os lados por 2, temos
Passo 5
Agora, precisamos encontrar os valores de
que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Ou seja, precisamos que:
Isso significa que estamos procurando valores de
que sejam múltiplos de
e também estejam na forma
.
Passo 6
Ao analisarmos as duas condições, percebemos que não existe nenhum valor de
que satisfaça ambas as equações ao mesmo tempo. Isso ocorre porque:
- Quando
, , que nunca é zero. - Quando
, ou , que nunca é zero.
Portanto, não há nenhum instante de tempo em que a partícula esteja simultaneamente com
e
.
Resposta
A partícula nunca passa pela origem.
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.
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(b) Em que posição a partícula encontra-se quando ?
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A posição de uma partícula é dada como função do tempo por
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(g) Em que instantes de tempo a partícula tem seu sentido negativo em relação ao sistema.
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