Uma partícula da massa 2 Kg desloca-se ao longo do espaço segundo a posição como função do tempo dada por (1).
r = (2 sen(t), 2 cos(t))
(f) Em que instantes de tempo a partícula passa pela origem?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma partícula com massa de 2 Kg que se move no espaço, e sua posição em função do tempo é dada pela função vetorial:
r = (2 sen(t), 2 cos(t))
O objetivo aqui é descobrir em que momentos de tempo essa partícula passa pela origem, ou seja, quando suas coordenadas x e y são ambas iguais a zero.

Passo 2

Para encontrar os instantes em que a partícula está na origem, precisamos determinar quando as componentes da posição são iguais a zero simultaneamente. Vamos separar as componentes x e y da função posição:

Passo 3

Agora, vamos estabelecer as condições para que a partícula esteja na origem:
Isso significa que precisamos resolver o seguinte sistema de equações:

Passo 4

Vamos resolver cada equação individualmente:
  1. Para :
    • Dividindo ambos os lados por 2, temos .
    • A função seno é igual a zero quando , onde é um número inteiro.
  2. Para :
    • Dividindo ambos os lados por 2, temos .
    • A função cosseno é igual a zero quando , onde é um número inteiro.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar os valores de que satisfazem ambas as equações simultaneamente. Ou seja, precisamos que:
Isso significa que estamos procurando valores de que sejam múltiplos de e também estejam na forma .

Passo 6

Ao analisarmos as duas condições, percebemos que não existe nenhum valor de que satisfaça ambas as equações ao mesmo tempo. Isso ocorre porque:
  • Quando , , que nunca é zero.
  • Quando , ou , que nunca é zero.
Portanto, não há nenhum instante de tempo em que a partícula esteja simultaneamente com e .

Resposta

A partícula nunca passa pela origem.

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