Uma partícula desloca-se ao longo de uma linha reta com uma posição que varia como função do tempo segundo a função dada por (2).
(g) Para tempos positivos, em que momentos a partícula está em posições positivas?
Passo 1
Vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função que descreve a posição de uma partícula ao longo do tempo:
Queremos descobrir, para tempos positivos (
), em que momentos a partícula está em posições positivas, ou seja, quando
. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, especificamente o seno, e analisar onde essa função resulta em valores positivos.
Passo 2
Primeiro, vamos estabelecer a condição que desejamos:
Observando a fração, sabemos que
é positivo (
), então o denominador da fração (
) também é positivo. Isso significa que o sinal de
depende apenas do numerador, que é
. Como
é um número positivo, podemos simplificar a condição para:
Passo 3
Agora, vamos lembrar onde a função seno é positiva. A função seno é positiva nos intervalos onde o ângulo está entre
e
radianos (ou seja, primeiro e segundo quadrantes do círculo trigonométrico). Isso significa que queremos encontrar os valores de
para os quais:
Passo 4
Vamos resolver a inequação para
. Primeiro, dividimos todos os membros da inequação por
:
Em seguida, dividimos por
:
Isso indica que, no primeiro ciclo, a função
é positiva quando
está entre
e
segundos.
Passo 5
A função seno é periódica, ou seja, ela se repete a cada período. O período
dessa função pode ser determinado pela fórmula:
Portanto, a função se repete a cada 1 segundo. Isso significa que a função seno será positiva em intervalos similares a cada 1 segundo. Assim, além do intervalo inicial
, teremos outros intervalos onde
:
Resposta
A partícula está em posições positivas nos intervalos de tempo: