Um sólido
é gerado fazendo girar em torno do eixo
a região delimitada pela reta
e a curva
.
(a) Dado
entre
e
, a área da seção transversal de
em
, perpendicular ao eixo
, é
—.
(b) Uma expressão integral para o volume de
é
.
(a) Dado
(b) Uma expressão integral para o volume de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre gerar um sólido
ao girar uma região delimitada pelas curvas
e
em torno do eixo
. A gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, para entender qual é a área que estamos girando, vamos achar onde as duas curvas se encontram. Igualando
e
:
Simplificando:
Então, as curvas se intersectam quando
e
.
Passo 3
Agora, vamos determinar os valores de
nesses pontos de interseção:
Para
:
Para
:
Portanto,
varia entre 1 e 2.
Passo 4
Vamos achar a área da seção transversal
perpendicular ao eixo
no sólido
. Como estamos girando em torno do eixo
, a seção será uma anel (ou “washer”) com duas raias: uma maior (
) e uma menor (
).
Primeiro, expressamos
em termos de
:
Da reta
:
Da parábola
:
Aqui, consideramos apenas a raiz positiva porque
está entre 0 e 1.
Passo 5
Assim, as raias são:
A área da seção transversal é então:
Passo 6
Para encontrar o volume
do sólido
, integramos a área
de
a
:
Resposta
(a) Para
entre 1 e 2, a área da seção transversal é:
(b) Uma expressão integral para o volume de
é: