Um sólido S é gerado fazendo girar em torno do eixo y a região delimitada pela reta y = x + 1 e a curva y = x^2 + 1.
(a) Dado y entre \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 e \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 , a área da seção transversal de S em y, perpendicular ao eixo y, é A(y) = \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 —.
(b) Uma expressão integral para o volume de S é \lim_{x \to 0} \frac{\sen(x)}{x} = 1 .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre gerar um sólido ao girar uma região delimitada pelas curvas e em torno do eixo . A gente vai precisar usar conceitos de geometria analítica e cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, para entender qual é a área que estamos girando, vamos achar onde as duas curvas se encontram. Igualando e :
Simplificando:
Então, as curvas se intersectam quando e .

Passo 3

Agora, vamos determinar os valores de nesses pontos de interseção:
Para :
Para :
Portanto, varia entre 1 e 2.

Passo 4

Vamos achar a área da seção transversal perpendicular ao eixo no sólido . Como estamos girando em torno do eixo , a seção será uma anel (ou “washer”) com duas raias: uma maior ( ) e uma menor ( ).
Primeiro, expressamos em termos de :
Da reta :
Da parábola :
Aqui, consideramos apenas a raiz positiva porque está entre 0 e 1.

Passo 5

Assim, as raias são:
A área da seção transversal é então:

Passo 6

Para encontrar o volume do sólido , integramos a área de a :

Resposta

(a) Para entre 1 e 2, a área da seção transversal é:
(b) Uma expressão integral para o volume de é:

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