Uma partícula se desloca ao longo de uma linha reta de tal modo que sua posição é dada por:
x=x0+v0 t+b t^2+c t^3
Onde xo é o espaço inicial, vo a velocidade inicial e as constantes b e c possuem as dimensões necessárias para que a equação fique dimensionalmente correta.
Admitindo que todas as grandezas são dadas no SI, determine:
a) a expressão para a velocidade em t=1 s.
b) a expressão para a aceleração em t=1 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma partícula que se mexe numa linha reta, e a posição dela ao longo do tempo é dada por uma equação que envolve tempo, velocidade inicial e umas constantes. O conteúdo aqui é de Cinemática, onde vamos usar derivadas para achar a velocidade e a aceleração da partícula. Para resolver, a gente precisa derivar a função da posição em relação ao tempo para encontrar a velocidade, e depois derivar a velocidade para achar a aceleração. Depois, é só substituir o tempo por 1 segundo para encontrar as expressões pedidas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão para a velocidade. Lembra que velocidade é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar a função v(t) = dxdt = ddt ( x0 + v0 t + b t^2 + c t^3 ) em relação a .

Passo 3

Agora, vamos derivar cada termo:
  • A derivada de v(t) = v0 + 2b t + 3c t^2 (que é uma constante) é 0.
  • A derivada de é .
  • A derivada de é (usando a regra do poder: ).
  • A derivada de é .
Então, a expressão da velocidade fica:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade, vamos substituir v(1) = v0 + 2b (1) + 3c (1)^2 = v0 + 2b + 3c segundo para encontrar a velocidade nesse instante:

Passo 5

Segundo, vamos encontrar a expressão para a aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo, ou seja, a segunda derivada da posição.
a(t) = dvdt = ddt ( v0 + 2b t + 3c t^2 )

Passo 6

Derivando cada termo da velocidade:
  • A derivada de a(t) = 2b + 6c t é 0.
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então, a expressão da aceleração fica:

Passo 7

Agora, substituímos a(1) = 2b + 6c (1) = 2b + 6c segundo na expressão da aceleração:

Resposta

a) A velocidade em é .
b) A aceleração em é .

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